洛谷 P1967 货车运输 最大生成树+倍增LCA

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大致题意：

给定一张无向图\(G(V,E)\)，\(q\)次询问\(u,v\)之间求找到一条路径使得路径上的最小权值最大。若不连通，输出\(-1\)。

\(n \leq 10^4,m\leq 5*10^4,q\leq 3*10^4\)

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Solution

考虑到在\(m\)条边中，并不是所有的边都一定有机会被经过。什么意思呢？参考Kruskal最小生成树算法的思想，那些连接着（已经被更小边完成连通的两点）的边，一定不在最小生成树中。

这道题要求路径最小值最大，于是我们就把边按照边权从大到小排序并建立最大生成树。

建立了之后，两点之间就有了唯一一条路径，并且这是在一棵树上，需要完成的操作为求两点路径间的最小值。

于是考虑\((u,v)\)之间一定为\(u→lca(u,v)→v\)这样一条路径。看到\(LCA\)狂喜想到倍增。

在预处理的时候顺便处理一下每个点到自己\(2^k\)级祖先路径上的最小值，在跳\(LCA\)的时候使用即可。

对于一组询问\((u,v)\)，我们就先判断它们是否连通，可以利用求最大生成树时的并查集来查询。

然后在跳\(LCA\)的过程中，每次跳边之前优先利用预处理的倍增最小值数组更新答案，原本返回\(LCA\)编号的地方改为返回答案即可。

另外，虽然数据水，直接从任意结点搜一次可以通过，但是实际上正确性是有点问题的。因为图不保证完全连通，可能形成多棵树，于是加个\(vis\)标记多搜几次就好了，虽然在水数据下不会有啥变化。

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code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20020;
const int M=100010;
struct node
{
	int u,v,w;
}g[M];
int fa[N];
bool vis[N];
inline int get(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=get(fa[x]);}
inline bool merge(int u,int v)
{
	int r1=get(u),r2=get(v);
	if(r1==r2)return 0;
	fa[r1]=r2;
	return 1;
}
inline bool cmp(node a,node b)
{
	return a.w>b.w;
}
int head[M],to[M],val[M],nxt[M],cnt;
int lg[N];
void add(int u,int v,int w)
{
	cnt++;
	to[cnt]=v;
	val[cnt]=w;
	nxt[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
}
int dep[N],f[N][26],mn[N][26];
void dfs(int u,int F,int w)
{
	vis[u]=1;
	dep[u]=dep[F]+1;
	f[u][0]=F;
	mn[u][0]=w;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++)
		f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1],
		mn[u][i]=min(mn[u][i-1],mn[f[u][i-1]][i-1]);
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
		if(to[i]!=F)dfs(to[i],u,val[i]);
}
int lca(int x,int y)
{
	int mini=0x3f3f3f3f;
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	while(dep[x]>dep[y])
	{
		mini=min(mini,mn[x][lg[dep[x]-dep[y]]]);
		x=f[x][lg[dep[x]-dep[y]]];
	}
	if(x==y)return mini;
	for(int k=lg[dep[x]];k>=0;k--)
		if(f[x][k]!=f[y][k])
		{
			mini=min(mini,min(mn[x][k],mn[y][k]));
			x=f[x][k],y=f[y][k];
		}
	mini=min(mini,min(mn[x][0],mn[y][0]));
	return mini;
}
int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i,lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i);
	for(int i=1;i<=n;i++)lg[i]--;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%d",&g[i].u,&g[i].v,&g[i].w);
	sort(g+1,g+1+m,cmp);
	int tot=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(merge(g[i].u,g[i].v))
			add(g[i].u,g[i].v,g[i].w),
			add(g[i].v,g[i].u,g[i].w),
			tot++;
		if(tot==n-1)break;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!vis[i])dfs(i,0,0);
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		if(get(u)!=get(v))
		{
			puts("-1");
			continue;
		}
		printf("%d\n",lca(u,v));
	}
	return 0;
}