序列自动机入门

文章发布于摸鱼世界，转载请注明出处。

---

前言

叫什么自动姬嘛，一个数组的事情(bushi

---

正文

吾日三省吾身：

这玩意有啥用？

这玩意咋做的？

这玩意咋写？

先来看序列自动机是干什么用的。

看它的名字就知道这和子序列有关，没错，它的基本作用就是快速的查询一个串是否是母串的子序列/母串的子序列个数等问题。当然，拓展的问题我也不会。

---

引入一个二维数组\(nxt[][]\)，\(nxt[i][j]\)表示第\(i\)位之后（不含第\(i\)位）的第一个字符\(j\)的位置。字符是不能直接作为数组的下标的，所以我们就把它们的\(ACSll\)码减去其中值最小的字符的值作为下标。比如字符都是'a'-'z'，我们就可以把字符减去'a'来作为下标，节省空间。

但是需要注意的一个细节是要把第0个位置空出来，这是状态的起点。所以输入的时候就用scanf("%s",str+1);即可。

如果有这样一个数组，我们就可以把每次要判断的串放到自动机里跑，直到全部匹配或是匹配失败。

那么重点就是如何实现这个nxt数组的维护。

首先有两个明显的结论。

1.如果第i位的字符为j，那么有nxt[i-1][j]=i。

2.除了字符j以外的字符集内任意一个字符k，都有nxt[i-1][k]=nxt[i][k]。

我们如果要用这两条规律进行推导的话，因为在2中是要用nxt[i][k]推出nxt[i-1][k]，所以循环的时候我们通过逆循环来实现推导就好了。

下面是这一步的代码块：(字符集'a'-'z')

void getnext(char str[])
{
    int len=strlen(str+1);
    for(int i=len;i>=1;i--)
    {
        for(int j=0;j<26;j++)
            c[i-1][j]=c[i][j];
        c[i-1][str[i]-'a']=i;
    }
    return;
}

---

接下来还是要说一下查询(一个串是否是母串的子序列)应该如何实现。

我们只需要像其他自动机（指AC自动机）那样从初始状态(i=0)开始往下循环，每次如果可行，就跳到nxt[i][str[i]-'a']，如果不可行，那么就是不匹配，直接退出循环就好。

void ask(char str[])
{
    bool s=1;
    int u=0;
    for(int i=0;str[i];i++)
    {
        u=c[u][str[i]-'a'];
        if(!u)
        {
            s=0;
            break;
        }
    }
    puts(s?"Yes":"No");
}

---

最后一个基本操作，求(母串的(不重复的子序列)的个数)的实现。

把这个自动机看做是一棵树，每条边即为从i出发，连向所有nxt[i][j]。而不重复子序列的个数，只需要统计一下这棵树上的结点个数即可。

至于为什么？画个图感性理解一下吧我也不会证 ::aru:diving::

int cnt=0;
void dfs(int u)
{
    cnt++;
    for(int i=0;i<26;i++)
        if(c[u][i])dfs(c[u][i]);
}

(记忆化搜索可以优化时间)

---

基础操作就讲到这里，如果以后遇到有趣的题也不来更新就来更新。

你听到鸽子叫了吗~