【转】卡特兰数四个公式(简单)
公式一
递归公式
h(0)=h(1)=1
h(n)=h(0)∗h(n−1)+h(1)∗h(n−2)+...+h(n−1)∗h(0)(n>=2)
如果我们用这个公式显然我们要使用递归算法,那么数据一大就在时空上很麻烦
公式二
递推公式
h(n)=h(n−1)∗(4∗n−2)/(n+1)
这个公式应用递推,看上起十分和善
但对大数据呢?
我们注意到大数据的时候h(n)会很大,这时候题目一般会让你对某素数取模(当然你可以打高精度(划掉))
但你在取模过程中难保一个h(n)%mod=0
那么根据公式下面所有的数都会等于0,于是你就愉快的WA了
公式三
组合数公式1
h(n)=C(2n,n)/(n+1)(n=0,1,2,...)
卡特兰数可以与组合数联系起来,得到上面的公式
而组合数就是一个杨辉三角,可以递推得到(这个不属于这道题的讨论范围我假装你们都会(逃))
但我们发现对于大数据你要取模,而对于除法你是没办法用膜的性质的(当然你可以应用逆元(划掉)),所以造成了麻烦
公式四
组合数公式2
h(n)=c(2n,n)−c(2n,n−1)(n=0,1,2,...)
与组合数公式1不同这个是两个组合数的减法
减法是可以用膜的性质的,于是你可以愉快的AC了。
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