关于在多重积分以及曲线曲面积分中对称性的应用

 引言#

在最近的期末复习中经常做到一类需要用对称性来简化计算的题目，而我翻书后却发现书上并没有对这种简化方法有多少介绍，老师倒是在课上讲过，但由于期中以后太摆了也没听，因此经过查找资料后对这种方法也是进行了学习和总结。

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先上内容：

1. 对于积分区域D，若区域D关于x轴对称，即,且可分成x形区域即,对于被积函数有下面结论：

        ，如果是关于y的偶函数，即,

则该积分为   ,其中区域D1则是区域D关于x轴对称的上半部分，若是关于y的奇函数，则积分值为0。若关于y轴对称对上面结论进行相应改变即可。

证明：

因为，是关于y的偶函数，则积分后的函数中必定是奇函数。所以

 

2.对于三重积分也可进行这样的简化计算，但需要注意对称面。

如 积分区域为，关于xoy面对称，则被积函数有

分别是关于z的偶函数，关于z的奇函数。其中是积分区域关于xoy面对称的上半部分。当有其他面对称的时候进行对应的变化时即可。

关于xoy面对称看是否是关于z的奇函数或偶函数，关于yoz面对称看是否是x的奇函数或偶函数，关于zox面看是否是y的奇函数或偶函数。

证明过程和二重积分证明过程思想类似，就不再证明了。

3.对于一类型的曲面积分和曲线积分仍然可以使用，与上面的思考是一样的过程。

4.最后是二类型的曲面积分和曲线积分

二类型的曲面积分和曲线积分恰恰是和一类型的反着的。偶函数是0，奇函数是2倍。

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最后，上面的内容都是我出于记录学习，难免会存在错误和漏洞，因此有错的地方也希望得到指正，这里仅用作学习和交流。