摘要：
设 \(f(u)\) 具有原函数 \(F(u)\) ，即 \[F'(u) = f(u), \quad \int f(u) \mathrm{d}u = F(u) + C \]如果 \(u\) 是中间变量：\(u = \varphi(x)\) ，且设 \(\varphi (x)\) 可微，那么根据复合函 阅读全文
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目录一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间 \(I\) 上，可导函数 \(F(x)\) 的导函数为 \(f(x)\) ，即对任一 \(x \in I\) ，都有 \[F'(x) = f(x) 或 \mathrm{d}F(x) = f 阅读全文
摘要：
目录一、弧微分二、曲率及其计算三、曲率圆与曲率半径*四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 一、弧微分 设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 内具有连续导数。在曲线 \(y = f(x)\) 上取固定点 \(M_0 (x_0, y_0)\) 作为度两户唱的基点，并规定依 \(x\) 阅读全文
摘要：
利用导数描绘函数图形的一般步骤如下： （1）确定函数 \(y = f(x)\) 的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数 \(f^{'}(x)\) 和二阶导数 \(f^{''}(x)\) ； （2）求出一阶导数 \(f^{'}(x)\) 和二阶导数 \(f^{''} 阅读全文
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目录一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题 一、函数的极值及其求法 定义 设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域 \(U(x_0)\) 内有定义，如果对于去心邻域 \(\mathring{U}(x_0)\) 内的任一 \(x\) ，有 \[f(x) < f(x_0) \quad 阅读全文
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目录一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点 一、函数单调性的判定法 定理1 设函数 \(y = f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，\((a, b)\) 内可导。 （1）如果在 \((a, b)\) 内 \(f^{'}(x) \geqslant 0\) 且等号仅限在有限多个点处成立 阅读全文
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泰勒（Taylor）中值定理1 如果函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有 \(n\) 阶导数，那么存在 \(x_0\) 的一个邻域，对于该领域内的任一 \(x\) ，有 \[f(x) = f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0) + \cfrac{f^{''}(x_0) 阅读全文
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定理1 设 （1）当 \(x \to a\) 时，函数 \(f(x)\) 及 \(F(x)\) 都趋于零； （2）在点 \(a\) 的某去心邻域内，\(f^{'}(x)\) 及 \(F^{'}(x)\) 都存在且 \(F^{'}(x) \neq 0\) ； （3）\(\lim \limits_{x 阅读全文
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目录一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域 \(U(x_0)\) 内有定义，并且在 \(x_0\) 处可导，如果对任意的 \(x \in U(x_0)\) ，有 \[f(x) \leqslant f(x_0) 阅读全文
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目录一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分运算1、函数和、差、积、商的微分法则2、复合函数的微分法则四、微分在近似计算中的应用 一、微分的定义 定义 设函数 \(y = f(x)\) 在某区间内有定义，\(x_0\) 及 \(x_0 + \Delta x\) 在这区间内，如果函数的增量 \[\De 阅读全文
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目录一、隐函数求导二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率 一、隐函数求导 函数 \(y = f(x)\) 表示两个变量 \(y\) 与 \(x\) 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达，例如 \(y = \sin x\) ，\(y = \ln x + \sqrt{1 - x^2 阅读全文
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一般地，函数 \(y = f(x)\) 的导数 \(y\ ' = f\ ' (x)\) 仍然是 \(x\) 的函数。我们把 \(y\ ' = f\ ' (x)\) 的导数叫做函数 \(y = f(x)\) 的二阶导数，记作 \(y\ ''\) 或 \(\cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\ 阅读全文
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目录1、常数和基本初等函数的导数公式2、函数的和、差、积、商的求导法则3、反函数的求导法则4、复合函数的求导法则 1、常数和基本初等函数的导数公式 公式 公式 （1） \((C)' = 0\) （2）\((x^{\mu})' = \mu x^{\mu - 1}\) （3）\((\sin x)' = 阅读全文
摘要：
目录一、导数的定义函数在一点处的导数与导函数单侧导数二、导数的几何意义三、函数可导性与连续性的关系 一、导数的定义 函数在一点处的导数与导函数 定义 设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个邻域内有定义，当自变量 \(x\) 在 \(x_0\) 处取得增量 \(\Delta x 阅读全文
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目录一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理*三、一致连续性 一、有界性与最大值最小值定理 最大值最小值的概念： 对于在区间 \(I\) 上有定义的函数 \(f(x)\) ，如果有 \(x_0 \in I\) 使得对于任一 \(x \in I\) 都有 \[f(x) \leqslant f 阅读全文
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目录一、连续函数的和、差、积、商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1 设函数 \(f(x)\) 和 \(\mathrm{g}(x)\) 在点 \(x_0\) 连续，则它们的和（差） \(f \pm \mathrm{g}\) 、 积 \ 阅读全文
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目录一、函数的连续性增量的概念函数连续的定义左连续与右连续的概念二、函数的间断点三种情形间断点举例 一、函数的连续性 增量的概念 设变量 \(u\) 从它的一个 初值 \(u_1\) 变到终值 \(u_2\) ，终值与初值的差 \(u_2 - u_1\) 就叫做变量 \(u\) 的增量，记作 \(\ 阅读全文
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定义： 如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = 0\) 那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高阶的无穷小，记作 \(\beta = o(\alpha)\) ； 如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = \infty\) ，那 阅读全文
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目录第一个准则第一个重要极限第二个准则第二个重要极限柯西（Cauchy）极限存在准则 第一个准则 准则Ⅰ：如果数列 \(\{ x_n \}\) ，\(\{ y_n \}\) 及 \(\{ z_n \}\) 满足下列条件： （1）从某项起，即 \(\exists n_0 \in \mathbb{N}_ 阅读全文
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定理1：两个无穷小的和是无穷小。 注：有限个无穷小之和也是无穷小 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论：常数与无穷小的乘积是无穷小 推论：有限个无穷小的乘积是无穷小。 定理3：如果 \(\lim f(x) = A, \lim \mathrm{g}(x) = B\) ，那么 （1）\(\li 阅读全文