无穷大与无穷小

无穷小

无穷小的定义：

如果函数 \(f(x)\) 当 \(x \rightarrow x_0\) （或 \(x \rightarrow \infty\)）时的极限为零那么称函数 \(f(x)\) 为当 \(x \rightarrow x_0\) （或 \(x \rightarrow \infty\)）时的无穷小。
特别的，以零为极限的数列 \(\{ a_n \}\) 称为 \(n \rightarrow \infty\) 的无穷小

注意：不要把无穷小与很小的数(例如百万分之一)混为一谈，因为无穷小是这样的函数，在\(x \rightarrow x_0\) （或 \(x \rightarrow \infty\)）的过程中，这函数的绝对值能小于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ，而很小的数如百万分之一，就不能小于任意给定的正数 \(\varepsilon\)，例如取 \(\varepsilon\) 等于千万分之一，则百万分之一就不能小于这个给定的 \(\varepsilon\) .但零是可以作为无穷小的唯一的常数，因为如果\(f(x) \equiv 0\)，那么对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\) 总有 \(\lvert f(x) \rvert < \varepsilon\) .

定理：

在自变量的同一变化过程 \(x \rightarrow x_0\) （或 \(x \rightarrow \infty\)）中，函数 \(f(x)\) 具有极限 \(A\) 的充分必要条件 \(f(x) = A + \alpha\) ，其中 \(\alpha\) 是无穷小。

无穷大

无穷大的定义：

函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义（或 \(\lvert x \rvert\) 大于某一正数时有定义）。如果对任一给定的正数 \(M\) （不论它多么大），总存在正数 \(\delta\) （或正数 \(X\) ），只要 \(x\) 适合不等式 \(0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta\) （或 \(\lvert x \rvert > X\) ），对应的函数值 \(f(x)\) 总满足不等式

\[\lvert f(x) \rvert > M \]

那么称函数 \(f(x)\)是当 \(x \rightarrow x_0\) （或 \(x \rightarrow \infty\)）时无穷大。

定理：

在自变量的同一变化过程 中，如果 \(f(x)\) 为无穷大，那么 \(\cfrac{1}{f(x)}\) 为无穷小；反之，如果 \(f(x)\) 为无穷小，且 \(f(x) \neq 0\) ，那么 \(\cfrac{1}{f(x)}\) 为无穷大。

无穷小的比较

定义：

如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = 0\) ，则称 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 高阶的无穷小，记作 \(\beta = o(\alpha)\)
如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = \infty\) ，则称 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 低阶的无穷小
如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = c \neq 0\) ，则称 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是同阶无穷小
如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha^k} = c \neq 0\) ，则称 \(\beta\) 是关于 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶无穷小
如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = 1\) ，则称 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是等价无穷小， 记作 \(\alpha \sim \beta\)

定理1：

\(\beta\) 与 \(\alpha\) 是等价无穷小的充要条件为：

\[\beta = \alpha + o(\alpha) \]

定理2：

设 \(\alpha \sim \widetilde{\alpha},\beta \sim \widetilde{\beta}\) ，且 \(\displaystyle \lim{\cfrac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}}\) 存在，则

\[\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = \lim{\cfrac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}} \]