洛必达法则求极限

洛必达法则求极限

洛必达法则

未定式：如果当 \(x \rightarrow a(\text{或 } x \rightarrow \infty)\) 时两个函数 \(f(x)\) 与 \(F(x)\) 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a \\(x \rightarrow \infty)}{\cfrac{f(x)}{F(x)}}\) 可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做 未定式 ，分别简记为 \(\cfrac{0}{0}\) 或 \(\cfrac{\infty}{\infty}\) 。

洛必达法则（L'Hôpital's rule） 主要是以下两个定理：

定理1：

1. 当 \(x \rightarrow a\) 时，函数 \(f(x)\) 及 \(F(x)\) 都趋于零；
2. 在点 \(a\) 的某去心邻域内， \(f'(x)\) 及 \(F'(x)\) 都存在且 \(F'(x) \neq 0\) ；
3. \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{\cfrac{f'(x)}{F'(x)}}\) 存在（或为无穷大），则有

\[\lim_{x \rightarrow a}{\cfrac{f(x)}{F(x)}} = \lim_{x \rightarrow a}{\cfrac{f'(x)}{F'(x)}}. \]

证明如下图：

定理2：

1. 当 \(x \rightarrow \infty\) 时，函数 \(f(x)\) 及 \(F(x)\) 都趋于零或无穷；
2. 当 \(\lvert x \rvert > N\) 时， \(f'(x)\) 及 \(F'(x)\) 都存在且 \(F'(x) \neq 0\) ；
3. \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}{\cfrac{f'(x)}{F'(x)}}\) 存在（或为无穷大），则有

\[\lim_{x \rightarrow \infty}{\cfrac{f(x)}{F(x)}} = \lim_{x \rightarrow \infty}{\cfrac{f'(x)}{F'(x)}}. \]

维基百科上对洛必达法则的描述为：

令实数 \(\displaystyle c\in {\bar {\mathbb {R} }}\) ，函数 \(f(x),g(x)\) 在以 \(x = c\) 为端点的开区间可微 ， \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{\cfrac{f'(x)}{g'(x)}} \in \bar{\mathbb {R}}\) ，且 \(g'(x) \neq 0\) ，如果 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{f(x)} = \lim_{x \rightarrow c}{g(x)} = 0\) 或 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{\lvert f(x) \rvert} = \lim_{x \rightarrow c}{\lvert g(x) \rvert} = \infty\) 其中一者成立，则有：

\[\lim_{x \rightarrow c}{\cfrac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x \rightarrow c}{\cfrac{f'(x)}{g'(x)}} \]

洛必达法则应用

类型A： \(\displaystyle \cfrac{\pm \infty}{\pm \infty}\)

例题：

（1）求 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}{\cfrac{\ln x}{x^n}} \, (n > 0).\)

解：\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}{\cfrac{\ln x}{x^n}} = \lim_{x \rightarrow +\infty}{\cfrac{\cfrac{1}{x}}{nx^{n - 1}}} = \lim_{x \rightarrow +\infty}{\cfrac{1}{nx^n}} = 0\)

（2）求 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}{\cfrac{x^n}{\mathrm{e}^{\lambda x}}} \, (n \text{为正整数，}\lambda > 0).\)

解：相继应用洛必达法则 n 次，得

\[\lim_{x \rightarrow +\infty}{\cfrac{x^n}{\mathrm{e}^{\lambda x}}} = \lim_{x \rightarrow +\infty}{\cfrac{nx^{n - 1}}{\lambda \mathrm{e}^{\lambda x}}} = \lim_{x \rightarrow +\infty}{\cfrac{n(n - 1)x^{n - 2}}{\lambda^2 \mathrm{e}^{\lambda x}}} = \cdots = \lim_{x \rightarrow +\infty}{\cfrac{n!}{\lambda^n \mathrm{e}^{\lambda x}}} = 0. \]

类型B1： \(\displaystyle \infty - \infty\)

例题：求 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{(\sec x - \tan x)}.\)

解：\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{(\sec x - \tan x)} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\cfrac{1 - \sin x}{\cos x}} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\cfrac{- \cos x}{-\sin x}} = 0\)

类型B2： \(0 \cdot \pm \infty\)

例题：求 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}{x^n \ln x} \, (n>0).\)

解：

\[ \lim_{x \rightarrow 0^+}{x^n \ln x} = \lim_{x \rightarrow 0^+}{\cfrac{\ln x}{x^{-n}}} = \lim_{x \rightarrow 0^+}{\cfrac{\cfrac{1}{x}}{-nx^{-n-1}}} = \lim_{x \rightarrow 0^+}{\cfrac{-x^n}{n}} = 0 \]

类型C： \(1^{\pm \infty}, 0^0, \infty ^0\)

例题：求 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}{x^x}.\)

解：设 \(\displaystyle y = x^x\) ，取对数得

\[\ln y = x \ln x \]

当 \(\displaystyle x \rightarrow 0^+\) 时，上式右端是 \(0 \cdot \infty\) 型未定式

\[\lim_{x \rightarrow 0^+}{\ln y} = \lim_{x \rightarrow 0^+}{(x \ln x)} = 0 \]

因为 \(\displaystyle y = \mathrm{e}^{\ln y}\) ，而 \(\displaystyle \lim y = \lim{\mathrm{e}^{\ln y}} = \mathrm{e}^{\lim \ln y}\) （当 \(x \rightarrow 0^+\)），所以

\[\lim_{x \rightarrow 0^+}{x^x} = \lim_{x \rightarrow 0^+}{y} = \mathrm{e}^0 = 1. \]

洛必达法则类型的总结

• 类型A 如果极限是分子式的形式，例如 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{\cfrac{f(x)}{g(x)}}\) ，应先检查是否为不定式。若为 \(\displaystyle \cfrac{0}{0}\) 或 \(\displaystyle \cfrac{\pm \infty}{\pm \infty}\) 型，则可以使用洛必达法则。

• 类型B1 如果是求差的极限，如 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{(f(x) - g(x))}\) ，可以通过通分或同时除以一个共轭表达式从而转化为类型A。

• 类型B2 如果极限是乘积的形式，如 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x)g(x)}\) ，应选择两个表达式中较简单的一个取倒数把它移到分母（尽量不要选用对数作分母），就可以转化为 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{\cfrac{g(x)}{1/f(x)}}\) 。

• 类型C 如果极限为指数形式，且该指数的底和指数部分都含变量，如 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x)^{g(x)}}\) ，应先对其取对数：

  \[\lim_{x \rightarrow a}{\ln{f(x)^{g(x)}}} = \lim_{x \rightarrow a}{g(x) \ln{f(x)}} \]

  这样就转化为类型 B2 或 A ，这时有：

  \[\lim_{x \rightarrow a}{\ln{f(x)^{g(x)}}} = L \]

  r然后两边取指数，可得：

  \[\lim_{x \rightarrow a}{f(x)^{g(x)}} = \mathrm{e}^L \]