高等数学 7.9欧拉方程

形如

\begin{matrix} (1) & x^{n} y^{(n)} + p_{1} x^{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1} x y^{'} + p_{n} y = f (x) \end{matrix}

的方程（其中 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ 为常数），叫做欧拉方程。

作变换 $x = e^{t}$ 或 $t = \ln x$ ，将自变量 $x$ 换成 $t$ ，有

\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = \frac{1 d y}{x d t}, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & = \frac{1}{x^{2}} (\frac{d^{2} y}{d t^{2}} - \frac{d y}{d t}), \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} & = \frac{1}{x^{3}} (\frac{d^{3} y}{d t^{3}} - 3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 2 \frac{d y}{d t}) . \end{aligned}

如果采用记号 $D$ 表示对 $t$ 求导得运算 $\frac{d}{d t}$ ，那么上述计算结果可以写成

\begin{aligned} x y^{'} & = D y, \\ x^{2} y^{″} & = \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - \frac{d y}{d t} = (\frac{d^{2}}{d t^{2}} - \frac{d}{d t}) y = (D^{2} - D) y = D (D - 1) y, \\ x^{3} y^{‴} & = \frac{d^{3} y}{d t^{3}} - 3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 2 \frac{d y}{d t} = (D^{3} - 3 D^{2} + 2 D) y = D (D - 1) (D - 2) y . \end{aligned}

一般地，有

x^{k} y^{(k)} = D (D - 1) \dots (D - k + 1) y .

把它代入欧拉方程 $(1)$ ，便得到一个以 $t$ 为自变量的常系数线性微分方程。在求出这个方程的解后，把 $t$ 换成 $\ln x$ ，即得原方程得解。

例题求欧拉方程 $x^{3} y^{‴} + x^{2} y^{″} - 4 x y^{'} = 3 x^{2}$ 的通解。
解：作变换 $x = e^{t}$ 或 $t = \ln x$ ，原方程化为

D (D - 1) (D - 2) y + D (D - 1) y - 4 D y = 3 e^{2 t},

即

D^{3} y - 2 D^{2} y - 3 D y = 3 e^{2 t},

或

\begin{matrix} (2) & \frac{d^{3} y}{d x^{3}} - 2 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - 3 \frac{d y}{d t} = 3 e^{2 t} \end{matrix}

方程 $(2)$ 所对应的齐次方程为

\begin{matrix} (3) & \frac{d^{3} y}{d x^{3}} - 2 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - 3 \frac{d y}{d t} = 0 \end{matrix}

其特征方程为

r^{3} - 2 r^{2} - 3 r = 0

它有三个根： $r_{1} = 0, r_{2} = - 1, r_{3} = 3$ 。于是方程 $(3)$ 的通解为

Y = C_{1} + C_{2} e^{- t} + C_{3} e^{3 t} = C_{1} + \frac{C_{2}}{x} + C_{3} x^{3}

其特解形式为

y^{*} = b e^{2 t} = b x^{2},

代入原方程，求得 $b = - \frac{1}{2}$ ，即

y^{*} = - \frac{x^{2}}{2} .

于是，所给欧拉方程的通解为

y = C_{1} + \frac{C_{2}}{x} + C_{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} .

posted @ 2024-10-25 17:12 暮颜阅读(42) 评论(0) 编辑收藏举报

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