高等数学 7.8常系数非齐次线性微分方程

目录

• 一、\(f(x) = \mathrm{e}^{\lambda x} P_m(x)\) 型
• 二、\(f(x) = \mathrm{e}^{\lambda x} [P_l (x) \cos \omega x + Q_n (x) \sin \omega x]\) 型

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是

\[y'' + py' + qy = f(x) \tag{1} \]

其中 \(p, q\) 是常数

由之前的内容可知，求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程

\[y'' + py' + qy = 0 \tag{2} \]

的通解和非齐次方程 \((1)\) 本身的一个特解。

二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法已在 7.7 节得到解决，本节只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解 \(y^*\) 的方法。

本节只介绍当方程 \((1)\) 中的 \(f(x)\) 取两种常见形式时求 \(y^*\) 的方法。这种方法的特点是不用积分就可求出 \(y^*\) ，它叫做 待定系数法 。\(f(x)\) 的两种形式是
（1）\(f(x) = \mathrm{e}^{\lambda x} P_m(x)\) ，其中 \(\lambda\) 是常数，\(P_m(x)\) 是 \(x\) 的一个 \(m\) 次多项式

\[P_m (x) = a_0 x^m + a_1 x^{m - 1} + \cdots + a_{m - 1} x + a_m ; \]

（2）\(f(x) = \mathrm{e}^{\lambda x}[P_l (x) \cos \omega x + Ｑ_n (x) \sin \omega x]\) ，其中 \(\lambda, \omega\) 是常数，\(\omega \neq 0, P_l (x), Q_n (x)\) 分别是 \(x\) 的 \(l\) 次、\(n\) 次多项式，且仅有一个可为零。

一、\(f(x) = \mathrm{e}^{\lambda x} P_m(x)\) 型

方程 \((1)\) 的特解 \(y^*\) 是使 \((1)\) 成为恒等式的函数。怎样的函数能使 \((1)\) 成为恒等式呢？因为 \((1)\) 的右端 \(f(x)\) 是多项式 \(P_m (x)\) 与指数函数 \(\mathrm{e}^{\lambda x}\) 的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍为多项式与指数函数的乘积，因此，我们推测 \(y^* = R(x) \mathrm{e}^{\lambda x}\) （其中 \(R(x)\) 为某个多项式）可能是方程 \((1)\) 的特解。把 \(y^*, y^{*'}\) 及 \(y^{*''}\) 代入方程 \((1)\) 然后考虑能否选取适当的多项式 \(R(x)\) ，使 \(y^* = R(x) \mathrm{e}^{\lambda x}\) 满足方程 \((1)\) 。为此，将

\[\begin{align*} y^* &= R(x) \mathrm{e}^{\lambda x} \\ y^{*'} &= \mathrm{e}^{\lambda x} [\lambda R(x) + R' (x)] \\ y^{*''} &= \mathrm{e}^{\lambda x}[\lambda^2 R(x) + 2 \lambda R'(x) + R''(x)] \end{align*} \]

代入方程 \((1)\) 并消去 \(\mathrm{e}^{\lambda x}\) ，得

\[R''(x) + (2 \lambda + p)R'(x) + (\lambda^2 + p \lambda + q) R(x) = P_m (x) \tag{3} \]

（i）如果 \(\lambda\) 不是 \((2)\) 的特征方程 \(r^2 + pr + q = 0\) 的根，即 \(\lambda^2 + p\lambda + q \neq 0\) ，由于 \(P_m (x)\) 是一个 \(m\) 次多项式，要使 \((3)\) 的两端相等，那么可令 \(R(x)\) 为另一个 \(m\) 次多项式：

\[R_m (x) = b_0 x^m + b_1 x^{m - 1} + \cdots + b_{m - 1} x + b_m , \]

代入 \((3)\) 式，比较等式两端 \(x\) 同次幂的系数，就得到以 \(b_0, b_1, \cdots, b_m\) 作为未知数的 \(m + 1\) 个方程的联立方程组。从而可以确定这些 \(b_i (i = 0, 1, \cdots, m)\) ，并得到所求的特解 \(y^* = R_m(x) \mathrm{e}^{\lambda x}\) 。

（ii）如果 \(\lambda\) 是特征方程 \(r^2 + pr + q = 0\) 的单根，即 \(\lambda^2 + p\lambda + q = 0\) 但 \(2 \lambda + p \neq 0\) ，要使 \((3)\) 的两端恒等，那么 \(R'(x)\) 必须是 \(m\) 次多项式。此时可令

\[R(x) = x R_m (x) ， \]

并可用同样的方法来确定 \(R_m (x)\) 的系数 \(b_i (i = 0, 1, \cdots, m)\) 。

（iii）如果 \(\lambda\) 是特征方程 \(r^2 + pr + q = 0\) 的重根，即 \(\lambda^2 + p\lambda + q = 0\) 且 \(2 \lambda + p = 0\) ，要使 \((3)\) 的两端恒等，那么 \(R'' (x)\) 必须是 \(m\) 次多项式。此时可令

\[R(x) = x^2 R_m(x) , \]

并用同样的方法来确定 \(R_m (x)\) 中的系数。

综上所述，有以下结论：
如果 \(f(x) = \mathrm{e}^{\lambda x} P_m (x)\) ，那么二阶常系数非齐次线性微分方程 \((1)\) 具有形如

\[y^* = x^k R_m (x) \mathrm{e}^{\lambda x} \tag{4} \]

的特解，其中 \(R_m(x)\) 是与 \(P_m (x)\) 同次 （\(m\) 次）的多项式，而 \(k\) 按 \(\lambda\) 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为 \(0, 1\) 或 \(2\) 。

上述结论可推广到 \(n\) 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意 \((4)\) 式中的 \(k\) 是特征方程含根 \(\lambda\) 的重复次数（即若 \(\lambda\) 不是特征方程的根，则 \(k\) 取为 \(0\)；若 \(\lambda\) 是特征方程的 \(s\) 重根，则 \(k\) 取为 \(s\)）。

二、\(f(x) = \mathrm{e}^{\lambda x} [P_l (x) \cos \omega x + Q_n (x) \sin \omega x]\) 型

应用欧拉公式

\[\cos \theta = \cfrac{1}{2} (\mathrm{e}^{i \theta} + \mathrm{e}^{-i \theta}), \quad \sin \theta = \cfrac{1}{2 \mathrm{i}} (\mathrm{e}^{i \theta} - \mathrm{e}^{-i \theta}), \]

把 \(f(x)\) 表示成复变指数函数的形式，有

\[\begin{align*} f(x) &= \mathrm{e}^{\lambda x} \left( P_l \cos \omega x + Q_n \sin \omega x \right) \\ &= \mathrm{e}^{\lambda x} \left( P_l \cfrac{\mathrm{e}^{\omega x \mathrm{i}} + \mathrm{e}^{-\omega x \mathrm{i}}}{2} + Q_n \cfrac{\mathrm{e}^{\omega x \mathrm{i}} - \mathrm{e}^{-\omega x \mathrm{i}}}{2 \mathrm{i}} \right) \\ &= \left( \cfrac{P_l}{2} + \cfrac{Q_n}{2\mathrm{i}} \right) \mathrm{e}^{(\lambda + \omega \mathrm{i})x} + \left( \cfrac{P_l}{2} - \cfrac{Q_n}{2\mathrm{i}} \right) \mathrm{e}^{(\lambda - \omega \mathrm{i})x} \\ &= P(x) \mathrm{e}^{(\lambda + \omega \mathrm{i})x} + \overline{P} (x) \mathrm{e}^{(\lambda - \omega \mathrm{i})x} , \end{align*} \]

其中

\[P(x) = \cfrac{P_l}{2} + \cfrac{Q_n}{2 \mathrm{i}} = \cfrac{P_l}{2} - \cfrac{Q_n}{2} \mathrm{i}, \quad \overline{P}(x) = \cfrac{P_l}{2} - \cfrac{Q_n}{2 \mathrm{i}} = \cfrac{P_l}{2} + \cfrac{Q_n}{2} \mathrm{i} \]

是互成共轭的 \(m\) 次多项式（即它们对应项的系数是共轭复数），而 \(m = \max{\{ l, n \}}\) 。

应用之前的结果，对于 \(f(x)\) 中的第一项 \(P(x) \mathrm{e}^{(\lambda + \omega \mathrm{i})x}\) ，可以求出一个 \(m\) 次多项式 \(R_m (x)\) ，使得 \(y_1^* = x^k R_m \mathrm{e}^{(\lambda + \omega \mathrm{i})x}\) 为方程

\[y'' + py' + qy = P(x) \mathrm{e}^{(\lambda + \omega \mathrm{i})x} \]

的特解，其中 \(k\) 按 \(\lambda + \omega \mathrm{i}\) 不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取 \(0\) 或 \(1\) 。由于 \(f(x)\) 的第二项 \(\overline{P} (x) \mathrm{e}^{(\lambda - \omega \mathrm{i})x}\) 与第一项 \(P(x) \mathrm{e}^{(\lambda + \omega \mathrm{i})x}\) 成共轭，所以与 \(y_1^*\) 成共轭的函数 \(y_2^* = x^k \overline{R}_m \mathrm{e}^{(\lambda - \omega \mathrm{i})x}\) 必然是方程

\[y'' + py' + qy = \overline{P} (x) \mathrm{e}^{(\lambda - \omega \mathrm{i})x} \]

的特解，这里 \(\overline{R}_m\) 表示与 \(R_m\) 成共轭的 \(m\) 次多项式。于是方程 \((1)\) 具有形如

\[y^* = x^k R_m \mathrm{e}^{(\lambda + \omega \mathrm{i})x} + x^k \overline{R}_m \mathrm{e}^{(\lambda - \omega \mathrm{i})x} \]

的特解。上式可写为

\[\begin{align*} y^* &= x^k \mathrm{e}^{\lambda x} \left( R_m \mathrm{e}^{\omega x \mathrm{i}} + \overline{R}_m \mathrm{e}^{-\omega x \mathrm{i}} \right) \\ &= x^k \mathrm{e}^{\lambda x} [R_m (\cos \omega x + \mathrm{i} \sin \omega x) + \overline{R}_m (\cos \omega x - \mathrm{i} \sin \omega x)] \end{align*} \]

由于括号内的两项是互成共轭的，相加后即无虚部，所以可以写成实函数的形式

\[y^* = x^k \mathrm{e}^{\lambda x} [R_m^{(1)} (x) \cos \omega x + R_m^{(2)} (x) \sin \omega x] \]

综上所述，我们有如下结论：
如果 \(f(x) = \mathrm{e}^{\lambda x}[P_l (x) \cos \omega x + Q_n (x) \sin \omega x]\) ，那么二阶常系数非齐次线性微分方程 \((1)\) 的特解可设为

\[y^* = x^k \mathrm{e}^{\lambda x} [R_m^{(1)} (x) \cos \omega x + R_m^{(2)} (x) \sin \omega x] \tag{5} \]

其中 \(R^{(1)}_m (x), R^{(2)}_m (x)\) 是 \(m\) 次多项式，\(m = \max{\{ l, n \}}\)，而 \(k\) 按 \(\lambda + \omega \mathrm{i}\) （或 \(\lambda - \omega \mathrm{i}\)）不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取\(0\)或\(1\) 。

上述结论可以推广到 \(n\) 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意 \((5)\) 式中的 \(k\) 是特征方程中含根 \(\lambda + \omega \mathrm{i}\) （或 \(\lambda - \omega \mathrm{i}\)）的重复次数。