高等数学 7.8常系数非齐次线性微分方程

一、 $f (x) = e^{λ x} P_{m} (x)$ 型
二、 $f (x) = e^{λ x} [P_{l} (x) \cos ω x + Q_{n} (x) \sin ω x]$ 型

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是

\begin{matrix} (1) & y^{″} + p y^{'} + q y = f (x) \end{matrix}

其中 $p, q$ 是常数

由之前的内容可知，求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程

\begin{matrix} (2) & y^{″} + p y^{'} + q y = 0 \end{matrix}

的通解和非齐次方程 $(1)$ 本身的一个特解。

二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法已在 7.7 节得到解决，本节只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解 $y^{*}$ 的方法。

本节只介绍当方程 $(1)$ 中的 $f (x)$ 取两种常见形式时求 $y^{*}$ 的方法。这种方法的特点是不用积分就可求出 $y^{*}$ ，它叫做 待定系数法 。 $f (x)$ 的两种形式是
（1） $f (x) = e^{λ x} P_{m} (x)$ ，其中 $λ$ 是常数， $P_{m} (x)$ 是 $x$ 的一个 $m$ 次多项式

P_{m} (x) = a_{0} x^{m} + a_{1} x^{m - 1} + \dots + a_{m - 1} x + a_{m};

（2） $f (x) = e^{λ x} [P_{l} (x) \cos ω x + Ｑ_{n} (x) \sin ω x]$ ，其中 $λ, ω$ 是常数， $ω \neq 0, P_{l} (x), Q_{n} (x)$ 分别是 $x$ 的 $l$ 次、 $n$ 次多项式，且仅有一个可为零。

一、 $f (x) = e^{λ x} P_{m} (x)$ 型

方程 $(1)$ 的特解 $y^{*}$ 是使 $(1)$ 成为恒等式的函数。怎样的函数能使 $(1)$ 成为恒等式呢？因为 $(1)$ 的右端 $f (x)$ 是多项式 $P_{m} (x)$ 与指数函数 $e^{λ x}$ 的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍为多项式与指数函数的乘积，因此，我们推测 $y^{*} = R (x) e^{λ x}$ （其中 $R (x)$ 为某个多项式）可能是方程 $(1)$ 的特解。把 $y^{*}, y^{*^{'}}$ 及 $y^{*^{″}}$ 代入方程 $(1)$ 然后考虑能否选取适当的多项式 $R (x)$ ，使 $y^{*} = R (x) e^{λ x}$ 满足方程 $(1)$ 。为此，将

\begin{aligned} y^{*} & = R (x) e^{λ x} \\ y^{*^{'}} & = e^{λ x} [λ R (x) + R^{'} (x)] \\ y^{*^{″}} & = e^{λ x} [λ^{2} R (x) + 2 λ R^{'} (x) + R^{″} (x)] \end{aligned}

代入方程 $(1)$ 并消去 $e^{λ x}$ ，得

\begin{matrix} (3) & R^{″} (x) + (2 λ + p) R^{'} (x) + (λ^{2} + p λ + q) R (x) = P_{m} (x) \end{matrix}

（i）如果 $λ$ 不是 $(2)$ 的特征方程 $r^{2} + p r + q = 0$ 的根，即 $λ^{2} + p λ + q \neq 0$ ，由于 $P_{m} (x)$ 是一个 $m$ 次多项式，要使 $(3)$ 的两端相等，那么可令 $R (x)$ 为另一个 $m$ 次多项式：

R_{m} (x) = b_{0} x^{m} + b_{1} x^{m - 1} + \dots + b_{m - 1} x + b_{m},

代入 $(3)$ 式，比较等式两端 $x$ 同次幂的系数，就得到以 $b_{0}, b_{1}, \dots, b_{m}$ 作为未知数的 $m + 1$ 个方程的联立方程组。从而可以确定这些 $b_{i} (i = 0, 1, \dots, m)$ ，并得到所求的特解 $y^{*} = R_{m} (x) e^{λ x}$ 。

（ii）如果 $λ$ 是特征方程 $r^{2} + p r + q = 0$ 的单根，即 $λ^{2} + p λ + q = 0$ 但 $2 λ + p \neq 0$ ，要使 $(3)$ 的两端恒等，那么 $R^{'} (x)$ 必须是 $m$ 次多项式。此时可令

R (x) = x R_{m} (x) ，

并可用同样的方法来确定 $R_{m} (x)$ 的系数 $b_{i} (i = 0, 1, \dots, m)$ 。

（iii）如果 $λ$ 是特征方程 $r^{2} + p r + q = 0$ 的重根，即 $λ^{2} + p λ + q = 0$ 且 $2 λ + p = 0$ ，要使 $(3)$ 的两端恒等，那么 $R^{″} (x)$ 必须是 $m$ 次多项式。此时可令

R (x) = x^{2} R_{m} (x),

并用同样的方法来确定 $R_{m} (x)$ 中的系数。

综上所述，有以下结论：
如果 $f (x) = e^{λ x} P_{m} (x)$ ，那么二阶常系数非齐次线性微分方程 $(1)$ 具有形如

\begin{matrix} (4) & y^{*} = x^{k} R_{m} (x) e^{λ x} \end{matrix}

的特解，其中 $R_{m} (x)$ 是与 $P_{m} (x)$ 同次（ $m$ 次）的多项式，而 $k$ 按 $λ$ 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为 $0, 1$ 或 $2$ 。

上述结论可推广到 $n$ 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意 $(4)$ 式中的 $k$ 是特征方程含根 $λ$ 的重复次数（即若 $λ$ 不是特征方程的根，则 $k$ 取为 $0$ ；若 $λ$ 是特征方程的 $s$ 重根，则 $k$ 取为 $s$ ）。

二、 $f (x) = e^{λ x} [P_{l} (x) \cos ω x + Q_{n} (x) \sin ω x]$ 型

应用欧拉公式

\cos θ = \frac{1}{2} (e^{i θ} + e^{- i θ}), \sin θ = \frac{1}{2 i} (e^{i θ} - e^{- i θ}),

把 $f (x)$ 表示成复变指数函数的形式，有

\begin{aligned} f (x) & = e^{λ x} (P_{l} \cos ω x + Q_{n} \sin ω x) \\ = e^{λ x} (P_{l} \frac{e^{ω x i} + e^{- ω x i}}{2} + Q_{n} \frac{e^{ω x i} - e^{- ω x i}}{2 i}) \\ = (\frac{P_{l}}{2} + \frac{Q_{n}}{2 i}) e^{(λ + ω i) x} + (\frac{P_{l}}{2} - \frac{Q_{n}}{2 i}) e^{(λ - ω i) x} \\ = P (x) e^{(λ + ω i) x} + \overset{―}{P} (x) e^{(λ - ω i) x}, \end{aligned}

其中

P (x) = \frac{P_{l}}{2} + \frac{Q_{n}}{2 i} = \frac{P_{l}}{2} - \frac{Q_{n}}{2} i, \overset{―}{P} (x) = \frac{P_{l}}{2} - \frac{Q_{n}}{2 i} = \frac{P_{l}}{2} + \frac{Q_{n}}{2} i

是互成共轭的 $m$ 次多项式（即它们对应项的系数是共轭复数），而 $m = max {l, n}$ 。

应用之前的结果，对于 $f (x)$ 中的第一项 $P (x) e^{(λ + ω i) x}$ ，可以求出一个 $m$ 次多项式 $R_{m} (x)$ ，使得 $y_{1}^{*} = x^{k} R_{m} e^{(λ + ω i) x}$ 为方程

y^{″} + p y^{'} + q y = P (x) e^{(λ + ω i) x}

的特解，其中 $k$ 按 $λ + ω i$ 不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取 $0$ 或 $1$ 。由于 $f (x)$ 的第二项 $\overset{―}{P} (x) e^{(λ - ω i) x}$ 与第一项 $P (x) e^{(λ + ω i) x}$ 成共轭，所以与 $y_{1}^{*}$ 成共轭的函数 $y_{2}^{*} = x^{k} {\overset{―}{R}}_{m} e^{(λ - ω i) x}$ 必然是方程