高等数学 7.7常系数齐次线性微分方程

在二阶齐次线性微分方程

\[y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \tag{1} \]

中，如果 \(y', y\) 的系数 \(P(x), Q(x)\) 均为常数，即 \((1)\) 式成为

\[y'' + py' + qy = 0 \tag{2} \]

其中 \(p, q\) 是常数，那么称 \((2)\) 为二阶常系数齐次线性微分方程。如果 \(p, q\) 不全为常数，就称 \((1)\) 为二阶变系数齐次线性微分方程。

要找微分方程 \((2)\) 的通解，可以先求出它的两个解 \(y_1, y_2\) ，如果它们之比不为常数，即 \(y_1\) 与 \(y_2\) 线性无关，那么 \(y = C_1 y_1 + C_2 y_2\) 就是方程 \((2)\) 的通解。

当 \(r\) 为常数时，指数函数 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 和它的各阶导数都只相差一个常数因子。由于指数函数有这个特点，因此用 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 来尝试，看能否选取适当的常数 \(r\) ，使 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 满足方程 \((2)\) 。

将 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 求导，得到

\[y' = \mathrm{e}^{rx}, \quad y'' = r^2 \mathrm{e}^{rx} \]

把 \(y, y'\) 代入方程 \((2)\) ，得

\[(r^2 + pr + q) \mathrm{e}^{rx} = 0 \]

由于 \(\mathrm{e}^{rx} \neq 0\) ，所以

\[r^2 + pr + q = 0 \tag{3} \]

由此可见，只要 \(r\) 满足代数方程 \((3)\) ，函数 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 就是微分方程 \((2)\) 的解。代数方程 \((3)\) 叫做微分方程 \((2)\) 的特征方程。

特征方程 \((3)\) 的两个根 \(r_1, r_2\) 可以用公式

\[r_{1, 2} = \cfrac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2} \]

求出。它们有三种不同的情形：
（1）当 \(p^2 - 4q > 0\) 时，\(r_1, r_2\) 是两个不相等的实根

\[r_1 = \cfrac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}, \quad r_2 = \cfrac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} \]

（2）当 \(p^2 - 4q = 0\) 时，\(r_1, r_2\) 是两个相等的实根

\[r_1 = r_2 = - \cfrac{p}{2} \]

（3）当 \(p^2 - 4q < 0\) 时，\(r_1, r_2\) 是一对共轭复根

\[r_1 = \alpha + \beta \mathrm{i}, \quad r_2 = \alpha - \beta \mathrm{i} \]

其中

\[\alpha = - \cfrac{p}{2}, \quad \beta = \cfrac{\sqrt{4q - p^2}}{2} \]

相应地，微分方程 \((2)\) 的通解也有三种不同的情_形。
（1）特征方程有两个不相等的实根：\(r_1 \neq r_2\)
由上面的讨论可知，\(y_1 = \mathrm{e}^{r_1x}, y_2 = \mathrm{e}^{r_2x}\) 是微分方程 \((2)\) 的两个解，并且 \(\cfrac{y_2}{y_1} = \cfrac{\mathrm{e}^{r_2x}}{\mathrm{e}^{r_1x}} = \mathrm{e}^{(r_2 - r_1)x}\) 不是常数，因此微分方程 \((2)\) 的通解为

\[y = C_1 \mathrm{e}^{r_1x} + C_2 \mathrm{e}^{r_2x} \]

（2）特征方程有两个相等的实根：\(r_1 = r_2\)
这时，只得到微分方程 \((2)\) 的一个解

\[y_1 = \mathrm{e}^{r_1x} . \]

为了得出微分方程 \((2)\) 的通解，还需求出另一个解 \(y_2\) ，并要求 \(\cfrac{y_2}{y_1}\) 不是常数。设 \(\cfrac{y_2}{y_1} = u(x)\)，即 \(y_2 = \mathrm{e}^{r_1x} u(x)\) 。下面来求 \(u(x)\) 。将 \(y_2\) 求导，得

\[\begin{align*} y_2' &= \mathrm{e}^{r_1x}(u' + r_1 u) \\ y_2'' &= \mathrm{e}^{r_1x}(u'' + 2r_1u' + r_1^2 u') \end{align*} \]

将 \(y_2, y_2'\) 和 \(y_2''\) 代入微分方程 \((2)\) ，得

\[\mathrm{e}^{r_1x}[(u'' + 2r_1 u' + r_1^2 u) + p(u' + r_1 u) + qu] = 0 \]

约去 \(\mathrm{e}^{r_1x}\) ，合并同类项，得

\[u'' + (2r_1 + p)u' + (r_1^2 + pr_1 + q)u = 0 \]

由于 \(r_1\) 是特征方程 \((3)\) 的二重根。因此 \(r_1^2 + pr_1 + q = 0\) 且 \(2r_1 + p = 0\)，于是得

\[u'' = 0 \]

因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨取 \(u = x\) ，由此可得到微分方程 \((2)\) 的另一个解

\[y_2 = x \mathrm{e}^{r_1x} \]

从而微分方程 \((2)\) 的通解为

\[y = C_1 \mathrm{e}^{r_1x} + C_2 x \mathrm{e}^{r_1x} \]

即

\[y = (C_1 + C_2 x) \mathrm{e}^{r_1x} . \]

（3）特征方程有一对共轭复根：\(r_1 = \alpha + \beta \mathrm{i}, r_2 = \alpha - \beta \mathrm{i}(\beta \neq 0)\)
这时，\(y_1 = \mathrm{e}^{(\alpha + \beta \mathrm{i})x}, y_2 = \mathrm{e}^{(\alpha - \beta \mathrm{i})x}\) 是微分方程 \((2)\) 的两个解，但它们是复值函数形式。为了得到实值函数形式的解，先利用欧拉公式 \(\mathrm{e}^{i \theta} = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta\) 把 \(y_1, y_2\) 改写为

\[\begin{align*} y_1 &= \mathrm{e}^{(\alpha + \beta \mathrm{i})x} = \mathrm{e}^{\alpha x} \cdot \mathrm{e}^{\beta x \mathrm{i}} = \mathrm{e}^{\alpha x} (\cos \beta x + \mathrm{i} \sin \beta x), \\ y_2 &= \mathrm{e}^{(\alpha - \beta \mathrm{i})x} = \mathrm{e}^{\alpha x} \cdot \mathrm{e}^{- \beta x \mathrm{i}} = \mathrm{e}^{\alpha x} (\cos \beta x - \mathrm{i} \sin \beta x) \end{align*} \]

由于复值函数 \(y_1\) 与 \(y_2\) 之间成共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实部，取它们的差除以 \(2 \mathrm{i}\) 就得到它们的虚部。由于方程 \((2)\) 的解符合叠加原理，所以实值函数

\[\overline{y_1} = \cfrac{1}{2} (y_1 + y_2) = \mathrm{e}^{\alpha x} \cos \beta x, \quad \overline{y_2} = \cfrac{1}{2 \mathrm{i}} (y_1 - y_2) = \mathrm{e}^{\alpha x} \sin \beta x \]

还是微分方程 \((2)\) 的解，且 \(\cfrac{\overline{y_1}}{\overline{y_2}} = \cfrac{\mathrm{e}^{\alpha x} \cos \beta x}{\mathrm{e}^{\alpha x} \sin \beta x} = \cot \beta x\) 不是常数，所以微分方程 \((2)\) 的通解为

\[y = \mathrm{e}^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x). \]

综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程

\[y'' + py' + qy = 0 \tag{2} \]

的通解的步骤如下：

第一步 写出微分方程 \((2)\) 的特征方程

\[r^2 + pr + q = 0 \tag{3} \]

第二步 求出特征方程 \((3)\) 的两个根 \(r_1, r_2\) .

第三步 根据特征方程 \((3)\) 的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程 \((2)\) 的通解：

特征方程 \(r^2 + pr + q = 0\) 的两个根 \(r_1, r_2\)	微分方程 \(y'' + py' + qy = 0\) 的通解
两个不相等的实根 \(r_1, r_2\)	\(y = C_1 \mathrm{e}^{r_1 x} + C_2 \mathrm{e}^{r_2 x}\)
两个相等的实根 \(r_1 = r_2\)	\(y = (C_1 + C_2 x)\mathrm{e}^{r_1 x}\)
一对共轭复根 \(r_{1, 2} = \alpha \pm \beta \mathrm{i}\)	\(y = \mathrm{e}^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)\)

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解的形式，可以推广到 \(n\) 阶常系数齐次线性微分方程，简单地叙述如下：
\(n\) 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是

\[y^{(n)} + p_1 y^{(n - 1)} + p_2 y^{(n - 2)} + \cdots + p_{n - 1}y' + p_n y = 0 \tag{4} \]

其中 \(p_1, p_2, \cdots, p_{n - 1}, p_n\) 都是常数。

有时我们用记号 \(\mathrm{D}\) （叫做微分算子）表示对 \(x\) 求导的运算 \(\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\) ，把 \(\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) 记作 \(\mathrm{D}y\)， 把 \(\cfrac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}\) 记作 \(\mathrm{D}^n y\)，并把方程 \((4)\) 记作

\[(\mathrm{D}^n + p_1 \mathrm{D}^{n - 1} + \cdots + p_{n - 1} \mathrm{D} + p_n)y = 0 \tag{5} \]

记

\[L(\mathrm{D}) = \mathrm{D}^n + p_1 \mathrm{D}^{n - 1} + \cdots + p_{n - 1} \mathrm{D} + p_n \]

\(L(\mathrm{D})\) 叫做微分算子 \(\mathrm{D}\) 的 \(n\) 次多项式。于是方程 \((5)\) 可记作

\[L(\mathrm{D})y = 0 \]

如同讨论二阶常系数齐次线性微分方程那样，令 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 。由于 \(\mathrm{D}\mathrm{e}^{rx} = r \mathrm{e}^{rx}, \cdots, \mathrm{D}^n \mathrm{e}^{rx} = r^n \mathrm{e}^{rx}\) ，故 \(L(\mathrm{D}) \mathrm{e}^{rx} = L(r) \mathrm{e}^{rx}\)。因此把 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 代入方程 \((5)\)，得

\[L(r) \mathrm{e}^{rx} = 0 \]

由此可见，如果选取 \(r\) 是 \(n\) 次代数方程 \(L(r) = 0\) 即

\[r^n + p_1 r^{n - 1} + p_2 r^{n - 2} + \cdots + p_{n - 1} r + p_n = 0 \tag{6} \]

的根，那么作出的函数 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 就是方程 \((5)\) 的一个解。
方程 \((6)\) 叫做方程 \((5)\) 的特征方程。

根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的解如下：

特征方程的根	微分方程通解中的对应项
单实根 \(r\)	给出一项：\(C \mathrm{e}^{rx}\)
一对单复根 \(r_{1, 2} = \alpha \pm \beta \mathrm{i}\)	给出两项：\(\mathrm{e}^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)\)
\(k\) 重实根 \(r\)	给出 \(k\) 项：\(\mathrm{e}^{rx} (C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k - 1})\)
一对 \(k\) 重复根 \(r_{1, 2} = \alpha \pm \beta \mathrm{i}\)	给出 \(2k\) 项： \(\mathrm{e}^{\alpha x} [(C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k - 1}) \cos \beta x + (D_1 + D_2 x + \cdots + D_k x^{k - 1}) \sin \beta x]\)

从代数学知道，\(n\) 次代数方程有 \(n\) 个根（重根按重复数计算），而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每项哥含一个任意常数，这样就得到 \(n\) 阶常系数齐次线性微分方程的通解

\[y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + \cdots + C_n y_n . \]