高等数学 7.7常系数齐次线性微分方程

在二阶齐次线性微分方程

\begin{matrix} (1) & y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0 \end{matrix}

中，如果 $y^{'}, y$ 的系数 $P (x), Q (x)$ 均为常数，即 $(1)$ 式成为

\begin{matrix} (2) & y^{″} + p y^{'} + q y = 0 \end{matrix}

其中 $p, q$ 是常数，那么称 $(2)$ 为二阶常系数齐次线性微分方程。如果 $p, q$ 不全为常数，就称 $(1)$ 为二阶变系数齐次线性微分方程。

要找微分方程 $(2)$ 的通解，可以先求出它的两个解 $y_{1}, y_{2}$ ，如果它们之比不为常数，即 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 线性无关，那么 $y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}$ 就是方程 $(2)$ 的通解。

当 $r$ 为常数时，指数函数 $y = e^{r x}$ 和它的各阶导数都只相差一个常数因子。由于指数函数有这个特点，因此用 $y = e^{r x}$ 来尝试，看能否选取适当的常数 $r$ ，使 $y = e^{r x}$ 满足方程 $(2)$ 。

将 $y = e^{r x}$ 求导，得到

y^{'} = e^{r x}, y^{″} = r^{2} e^{r x}

把 $y, y^{'}$ 代入方程 $(2)$ ，得

(r^{2} + p r + q) e^{r x} = 0

由于 $e^{r x} \neq 0$ ，所以

\begin{matrix} (3) & r^{2} + p r + q = 0 \end{matrix}

由此可见，只要 $r$ 满足代数方程 $(3)$ ，函数 $y = e^{r x}$ 就是微分方程 $(2)$ 的解。代数方程 $(3)$ 叫做微分方程 $(2)$ 的特征方程。

特征方程 $(3)$ 的两个根 $r_{1}, r_{2}$ 可以用公式

r_{1, 2} = \frac{- p \pm \sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}

求出。它们有三种不同的情形：
（1）当 $p^{2} - 4 q > 0$ 时， $r_{1}, r_{2}$ 是两个不相等的实根

r_{1} = \frac{- p + \sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}, r_{2} = \frac{- p - \sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}

（2）当 $p^{2} - 4 q = 0$ 时， $r_{1}, r_{2}$ 是两个相等的实根

r_{1} = r_{2} = - \frac{p}{2}

（3）当 $p^{2} - 4 q < 0$ 时， $r_{1}, r_{2}$ 是一对共轭复根

r_{1} = α + β i, r_{2} = α - β i

其中

α = - \frac{p}{2}, β = \frac{\sqrt{4 q - p^{2}}}{2}

相应地，微分方程 $(2)$ 的通解也有三种不同的情_形。
（1）特征方程有两个不相等的实根： $r_{1} \neq r_{2}$
由上面的讨论可知， $y_{1} = e^{r_{1} x}, y_{2} = e^{r_{2} x}$ 是微分方程 $(2)$ 的两个解，并且 $\frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{e^{r_{2} x}}{e^{r_{1} x}} = e^{(r_{2} - r_{1}) x}$ 不是常数，因此微分方程 $(2)$ 的通解为

y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}

（2）特征方程有两个相等的实根： $r_{1} = r_{2}$
这时，只得到微分方程 $(2)$ 的一个解

y_{1} = e^{r_{1} x} .

为了得出微分方程 $(2)$ 的通解，还需求出另一个解 $y_{2}$ ，并要求 $\frac{y_{2}}{y_{1}}$ 不是常数。设 $\frac{y_{2}}{y_{1}} = u (x)$ ，即 $y_{2} = e^{r_{1} x} u (x)$ 。下面来求 $u (x)$ 。将 $y_{2}$ 求导，得

\begin{aligned} y_{2}^{'} & = e^{r_{1} x} (u^{'} + r_{1} u) \\ y_{2}^{″} & = e^{r_{1} x} (u^{″} + 2 r_{1} u^{'} + r_{1}^{2} u^{'}) \end{aligned}

将 $y_{2}, y_{2}^{'}$ 和 $y_{2}^{″}$ 代入微分方程 $(2)$ ，得

e^{r_{1} x} [(u^{″} + 2 r_{1} u^{'} + r_{1}^{2} u) + p (u^{'} + r_{1} u) + q u] = 0

约去 $e^{r_{1} x}$ ，合并同类项，得

u^{″} + (2 r_{1} + p) u^{'} + (r_{1}^{2} + p r_{1} + q) u = 0

由于 $r_{1}$ 是特征方程 $(3)$ 的二重根。因此 $r_{1}^{2} + p r_{1} + q = 0$ 且 $2 r_{1} + p = 0$ ，于是得

u^{″} = 0

因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨取 $u = x$ ，由此可得到微分方程 $(2)$ 的另一个解

y_{2} = x e^{r_{1} x}

从而微分方程 $(2)$ 的通解为

y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} x e^{r_{1} x}

即

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{r_{1} x} .

（3）特征方程有一对共轭复根： $r_{1} = α + β i, r_{2} = α - β i (β \neq 0)$
这时， $y_{1} = e^{(α + β i) x}, y_{2} = e^{(α - β i) x}$ 是微分方程 $(2)$ 的两个解，但它们是复值函数形式。为了得到实值函数形式的解，先利用欧拉公式 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ 把 $y_{1}, y_{2}$ 改写为

\begin{aligned} y_{1} & = e^{(α + β i) x} = e^{α x} \cdot e^{β x i} = e^{α x} (\cos β x + i \sin β x), \\ y_{2} & = e^{(α - β i) x} = e^{α x} \cdot e^{- β x i} = e^{α x} (\cos β x - i \sin β x) \end{aligned}

由于复值函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 之间成共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实部，取它们的差除以 $2 i$ 就得到它们的虚部。由于方程 $(2)$ 的解符合叠加原理，所以实值函数

\overset{―}{y_{1}} = \frac{1}{2} (y_{1} + y_{2}) = e^{α x} \cos β x, \overset{―}{y_{2}} = \frac{1}{2 i} (y_{1} - y_{2}) = e^{α x} \sin β x

还是微分方程 $(2)$ 的解，且 $\frac{\overset{―}{y_{1}}}{\overset{―}{y_{2}}} = \frac{e^{α x} \cos β x}{e^{α x} \sin β x} = \cot β x$ 不是常数，所以微分方程 $(2)$ 的通解为

y = e^{α x} (C_{1} \cos β x + C_{2} \sin β x) .

综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程

\begin{matrix} (2) & y^{″} + p y^{'} + q y = 0 \end{matrix}

的通解的步骤如下：

第一步写出微分方程 $(2)$ 的特征方程

\begin{matrix} (3) & r^{2} + p r + q = 0 \end{matrix}

第二步求出特征方程 $(3)$ 的两个根 $r_{1}, r_{2}$ .

第三步根据特征方程 $(3)$ 的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程 $(2)$ 的通解：

特征方程 $r^{2} + p r + q = 0$ 的两个根 $r_{1}, r_{2}$	微分方程 $y^{″} + p y^{'} + q y = 0$ 的通解
两个不相等的实根 $r_{1}, r_{2}$	$y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$
两个相等的实根 $r_{1} = r_{2}$	$y = (C_{1} + C_{2} x) e^{r_{1} x}$
一对共轭复根 $r_{1, 2} = α \pm β i$	$y = e^{α x} (C_{1} \cos β x + C_{2} \sin β x)$

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解的形式，可以推广到 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程，简单地叙述如下：
$n$ 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是

\begin{matrix} (4) & y^{(n)} + p_{1} y^{(n - 1)} + p_{2} y^{(n - 2)} + \dots + p_{n - 1} y^{'} + p_{n} y = 0 \end{matrix}

其中 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n - 1}, p_{n}$ 都是常数。

有时我们用记号 $D$ （叫做微分算子）表示对 $x$ 求导的运算 $\frac{d}{d x}$ ，把 $\frac{d y}{d x}$ 记作 $D y$ ，把 $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ 记作 $D^{n} y$ ，并把方程 $(4)$ 记作

\begin{matrix} (5) & (D^{n} + p_{1} D^{n - 1} + \dots + p_{n - 1} D + p_{n}) y = 0 \end{matrix}

记

L (D) = D^{n} + p_{1} D^{n - 1} + \dots + p_{n - 1} D + p_{n}

$L (D)$ 叫做微分算子 $D$ 的 $n$ 次多项式。于是方程 $(5)$ 可记作

L (D) y = 0

如同讨论二阶常系数齐次线性微分方程那样，令 $y = e^{r x}$ 。由于 $D e^{r x} = r e^{r x}, \dots, D^{n} e^{r x} = r^{n} e^{r x}$ ，故 $L (D) e^{r x} = L (r) e^{r x}$ 。因此把 $y = e^{r x}$ 代入方程 $(5)$ ，得

L (r) e^{r x} = 0

由此可见，如果选取 $r$ 是 $n$ 次代数方程 $L (r) = 0$ 即

\begin{matrix} (6) & r^{n} + p_{1} r^{n - 1} + p_{2} r^{n - 2} + \dots + p_{n - 1} r + p_{n} = 0 \end{matrix}

的根，那么作出的函数 $y = e^{r x}$ 就是方程 $(5)$ 的一个解。
方程 $(6)$ 叫做方程 $(5)$ 的特征方程。

根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的解如下：

特征方程的根	微分方程通解中的对应项
单实根 $r$	给出一项： $C e^{r x}$
一对单复根 $r_{1, 2} = α \pm β i$	给出两项： $e^{α x} (C_{1} \cos β x + C_{2} \sin β x)$
$k$ 重实根 $r$	给出 $k$ 项： $e^{r x} (C_{1} + C_{2} x + \dots + C_{k} x^{k - 1})$
一对 $k$ 重复根 $r_{1, 2} = α \pm β i$	给出 $2 k$ 项： $e^{α x} [(C_{1} + C_{2} x + \dots + C_{k} x^{k - 1}) \cos β x + (D_{1} + D_{2} x + \dots + D_{k} x^{k - 1}) \sin β x]$