高等数学 7.6高阶线性微分方程

目录

• 一、线性微分方程的解的结构
• *二、常数变易法

方程

\[\cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + P(x) \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x) = f(x) \tag{1} \]

叫做二阶线性微分方程。当方程右端 \(f(x) \equiv 0\) 时，方程叫做齐次的；当 \(f(x) \not\equiv 0\) 时，方程叫做非齐次的。

一、线性微分方程的解的结构

先讨论二阶齐次线性方程

\[y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0 \tag{2} \]

定理1 如果函数 \(y_1(x)\) 与 \(y_2(x)\) 是方程 \((2)\) 的两个解，那么

\[y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) \tag{3} \]

也是 \((2)\) 的解，其中 \(C_1, C_2\) 是任意常数。

设 \(y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)\) 为定义在区间 \(I\) 上的 \(n\) 个函数，如果存在 \(n\) 个不全为零的常数 \(k_1, k_2, \cdots, k_n\)，使得当 \(x \in I\) 时恒有等式

\[k_1y_1 + k_2y_2 + \cdots + k_ny_n \equiv 0 \]

成立，那么称这 \(n\) 个函数在区间 \(I\) 上线性相关；否则称线性无关。

对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数：如果比为常数，那么它们是线性相关的；否则就线性无关。

定理2 如果 \(y_1(x)\) 与 \(y_2(x)\) 是方程 \((2)\) 的两个线性无关的特解，那么

\[y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) \quad (C_1, C_2 是任意常数) \]

就是方程 \((2)\) 的通解。

定理2推广到 \(n\) 阶齐次线性方程，得到如下推论
推论 如果 \(y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)\) 是 \(n\) 阶齐次线性方程

\[y^{(n)} + a_1(x) y^{(n - 1)} + \cdots + a_{n - 1}(x) y' + a_n(x) y = 0 \]

的 \(n\) 个线性无关的解，那么此方程的通解为

\[y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + \cdots + C_n y_n(x) , \]

其中 \(C_1, C_2, \cdots, C_n\) 为任意常数。

定理3 设 \(y^*(x)\) 是二阶非齐次线性方程

\[y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x) \tag{4} \]

的一个特解，\(Y(x)\) 是与 \((4)\) 对应的齐次方程 \((2)\) 的通解，则

\[y = Y(x) + y^*(x) \tag{5} \]

是二阶非齐次线性微分方程 \((4)\) 的通解。

定理4 设非齐次线性方程 \((4)\) 的右端 \(f(x)\) 是两个函数之和，即

\[y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x) + f_2(x) , \]

而 \(y_1^* (x)\) 与 \(y_2^*\) 分别是方程

\[y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x) \]

与

\[y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_2(x) \]

的特解，则 \(y_1^* (x) + y_2^* (x)\) 就是原方程得特解。
这一定理通常称为线性微分方程的解的叠加原理。

定理3和定理4也可推广到 \(n\) 阶非齐次线性方程。

*二、常数变易法

常数变易法也适用于解高阶线性微分方程。
如果已知齐次方程 \((2)\) 的通解为

\[Y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) \]

那么，可以用如下的常数变易法去求非齐次方程 \((4)\) 的通解，令

\[y = y_1(x) v_1 + y_2(x) v_2 \tag{6} \]

要确定未知函数 \(v_1(x)\) 及 \(v_2(x)\) 使 \((6)\) 式所表示的函数满足非齐次方程 \((4)\)。为此，对 \((6)\) 求导，得

\[y' = y_1 v_1' + y_2 v_2' + y_1' v_1 + y_2' v_2 . \]

由于两个未知函数 \(v_1, v_2\) 只需使 \((6)\) 所表示的函数满足一个关系式 \((4)\) 。所以可规定它们再满足一个关系式。从 \(y'\) 的上述表示式可看出，为了使 \(y''\) 的表示式中不含 \(v_1''\) 和 \(v_2''\)，可设

\[y_1 v_1' + y_2 v_2' = 0 \tag{7} \]

从而

\[y' = y_1' v_1 + y_2' v_2 \]

再求导，得

\[y'' = y_1' v_1' + y_2' v_2' +y_1'' v_1 + y_2'' v_2 \]

把 \(y, y', y''\) 代入方程 \((4)\) ，得

\[y_1' v_1' + y_2' v_2' +y_1'' v_1 + y_2'' v_2 + P(y_1' v_1 + y_2' v_2) + Q(y_1 v_1, y_2 v_2) = f \]

整理，得

\[y_1' v_1' + y_2' v_2' + (y_1'' + Py_1' + Qy_1) v_1 + (y_2'' + Py_2' + Qy_2)v_2 = f \]

注意到 \(y_1\) 及 \(y_2\) 是齐次方程 \((2)\) 的解，故上式即为

\[y_1' v_1' + y_2' v_2' = f \tag{8} \]

联立方程 \((7)\) 与 \((8)\) ，在系数行列式

\[W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_1' y_2 \neq 0 \]

时，可解得

\[v_1' = - \cfrac{y_2 f}{W}, \quad v_2' = \cfrac{y_1 f}{W} . \]

对上两式积分（假定 \(f(x)\) 连续），得

\[v_1 = C_1 + \int \left( - \cfrac{y_2 f}{W} \right) \mathrm{d}x, \quad v_2 = C_2 + \int \cfrac{y_1 f}{W} \mathrm{d}x . \]

于是得非齐次方程 \((1)\) 的通解为

\[y = C_1 y_1 + C_2 y_2 - y_1 \int \cfrac{y_2 f}{W} \mathrm{d}x + y_2 \int \cfrac{y_1 f}{W} \mathrm{d}x . \]

例1 已知齐次方程 \((x - 1)y'' - xy' + y = 0\) 的通解为 \(Y(x) = C_1 x + C_2 \mathrm{e}^x\)，求非齐次方程 \((x - 1)y'' - xy' + y = (x - 1)^2\) 的通解。
解：把所给方程写成标准形式

\[y'' - \cfrac{x}{x - 1} y' + \cfrac{1}{x - 1} = x - 1 \]

令\(y = xv_1 + \mathrm{e}^x v_2\)，按照

\[\begin{cases} y_1 v_1' + y_2 v_2' = 0 \\ y_1' v_1' + y_2' v_2' = f \end{cases} \]

有

\[\begin{cases} xv_1' + \mathrm{e}^x v_2' = 0 \\ v_1' + \mathrm{e}^x v_2' = x - 1 \end{cases} \]

解得

\[v_1' = -1, \quad v_2' = x \mathrm{e}^{-x} . \]

积分，得

\[v_1 = C_1 - x, \quad v_2 = C_2 - (x + 1)\mathrm{e}^{-x} . \]

于是所求非齐次方程的通解为

\[y = C_1 x + C_2 \mathrm{e}^x - (x^2 + x + 1). \]

如果只知齐次方程 \((2)\) 的一个不恒为零的解 \(y_1 (x)\) ，那么，利用变换 \(y = u y_1 (x)\)，可把非齐次方程 \((1)\) 化为一阶线性方程。

事实上，把

\[y = y_1 u, y' = y_1 u' + y_1' u, y'' = y_1 u'' + 2 y_1' u' + y_1'' u \]

代入方程 \((1)\)，得

\[y_1 u'' + 2 y_1' u' + y_1'' u + P(y_1 u' + y_1' u) + Qy_1 u = f, \]

即

\[y_1 u'' + (2y_1' + Py_1)u' + (y_1'' + Py_1' + Qy_1)u = f, \]

由于 \(y_1'' + Py_1' + Qy_1 \equiv 0\)，故上式为

\[y_1u'' + (2y_1' + Py_1) u' = f. \]

令 \(u' = z\) ，上式即化为一阶线性方程

\[y_1 z' + (2y_1' + Py_1) z = f. \tag{9} \]

把方程 \((4)\) 化为方程 \((9)\) 以后，按一阶线性方程的解法，设求得方程 \((9)\) 的通解为

\[z = C_2 Z(x) + z^* (x) \]

积分得

\[u = C_1 + C_2 U(x) + u^* (x) \quad (其中 U'(x) = Z(x), u^{*'}(x) = z^* (x)) , \]

上式两端同乘 \(y_1(x)\)，便得方程 \((4)\) 的通解

\[y = C_1 y_1(x) + C_2 U(x) y_1 (x) + u^* (x) y_1 (x) \]

上述方法也适用于求齐次方程 \((2)\) 的通解。

例2 已知 \(y_1 (x) = \mathrm{e}^x\) 是齐次方程 \(y'' - 2y' + y = 0\) 的解，求非齐次方程 \(y'' - 2y' + y = \cfrac{1}{x} \mathrm{e}^x\) .
解：令 \(y = \mathrm{e}^x u\)，则 \(y' = \mathrm{e}^x (u' + u), y'' = \mathrm{e}^x (u'' + 2u' + u)\) ，代入非齐次方程，得

\[\mathrm{e}^x (u'' + 2u' + u) - 2 \mathrm{e}^x (u' + u) + \mathrm{e}^x u = \cfrac{1}{x} \mathrm{e}^x , \]

即

\[\mathrm{e}^x u = \cfrac{1}{x} \mathrm{e}^x, \quad u'' = \cfrac{1}{x} . \]

只要直接积分，便得

\[u' = C + \ln |x| , \]

再积分得

\[u = C_1 + Cx + x \ln |x| - x , \]

即

\[u = C_1 + C_2 x + x \ln |x| \quad (C_2 = C - 1). \]

于是所求通解为

\[y = C_1 \mathrm{e}^x + C_2 x \mathrm{e}^x + x \mathrm{e}^x \ln |x| . \]