高等数学 7.6高阶线性微分方程

一、线性微分方程的解的结构
*二、常数变易法

方程

\begin{matrix} (1) & \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + P (x) \frac{d y}{d x} + Q (x) = f (x) \end{matrix}

叫做二阶线性微分方程。当方程右端 $f (x) \equiv 0$ 时，方程叫做齐次的；当 $f (x) ≢ 0$ 时，方程叫做非齐次的。

一、线性微分方程的解的结构

先讨论二阶齐次线性方程

\begin{matrix} (2) & y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0 \end{matrix}

定理1 如果函数 $y_{1} (x)$ 与 $y_{2} (x)$ 是方程 $(2)$ 的两个解，那么

\begin{matrix} (3) & y = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) \end{matrix}

也是 $(2)$ 的解，其中 $C_{1}, C_{2}$ 是任意常数。

设 $y_{1} (x), y_{2} (x), \dots, y_{n} (x)$ 为定义在区间 $I$ 上的 $n$ 个函数，如果存在 $n$ 个不全为零的常数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}$ ，使得当 $x \in I$ 时恒有等式

k_{1} y_{1} + k_{2} y_{2} + \dots + k_{n} y_{n} \equiv 0

成立，那么称这 $n$ 个函数在区间 $I$ 上线性相关；否则称线性无关。

对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数：如果比为常数，那么它们是线性相关的；否则就线性无关。

定理2 如果 $y_{1} (x)$ 与 $y_{2} (x)$ 是方程 $(2)$ 的两个线性无关的特解，那么

y = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) (C_{1}, C_{2} 是 任 意 常 数)

就是方程 $(2)$ 的通解。

定理2推广到 $n$ 阶齐次线性方程，得到如下推论
推论如果 $y_{1} (x), y_{2} (x), \dots, y_{n} (x)$ 是 $n$ 阶齐次线性方程

y^{(n)} + a_{1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + a_{n - 1} (x) y^{'} + a_{n} (x) y = 0

的 $n$ 个线性无关的解，那么此方程的通解为

y = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) + \dots + C_{n} y_{n} (x),

其中 $C_{1}, C_{2}, \dots, C_{n}$ 为任意常数。

定理3 设 $y^{*} (x)$ 是二阶非齐次线性方程

\begin{matrix} (4) & y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f (x) \end{matrix}

的一个特解， $Y (x)$ 是与 $(4)$ 对应的齐次方程 $(2)$ 的通解，则

\begin{matrix} (5) & y = Y (x) + y^{*} (x) \end{matrix}

是二阶非齐次线性微分方程 $(4)$ 的通解。

定理4 设非齐次线性方程 $(4)$ 的右端 $f (x)$ 是两个函数之和，即

y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f_{1} (x) + f_{2} (x),

而 $y_{1}^{*} (x)$ 与 $y_{2}^{*}$ 分别是方程

y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f_{1} (x)

与

y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f_{2} (x)

的特解，则 $y_{1}^{*} (x) + y_{2}^{*} (x)$ 就是原方程得特解。
这一定理通常称为线性微分方程的解的叠加原理。

定理3和定理4也可推广到 $n$ 阶非齐次线性方程。

*二、常数变易法

常数变易法也适用于解高阶线性微分方程。
如果已知齐次方程 $(2)$ 的通解为

Y (x) = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x)

那么，可以用如下的常数变易法去求非齐次方程 $(4)$ 的通解，令

\begin{matrix} (6) & y = y_{1} (x) v_{1} + y_{2} (x) v_{2} \end{matrix}

要确定未知函数 $v_{1} (x)$ 及 $v_{2} (x)$ 使 $(6)$ 式所表示的函数满足非齐次方程 $(4)$ 。为此，对 $(6)$ 求导，得

y^{'} = y_{1} v_{1}^{'} + y_{2} v_{2}^{'} + y_{1}^{'} v_{1} + y_{2}^{'} v_{2} .

由于两个未知函数 $v_{1}, v_{2}$ 只需使 $(6)$ 所表示的函数满足一个关系式 $(4)$ 。所以可规定它们再满足一个关系式。从 $y^{'}$ 的上述表示式可看出，为了使 $y^{″}$ 的表示式中不含 $v_{1}^{″}$ 和 $v_{2}^{″}$ ，可设

\begin{matrix} (7) & y_{1} v_{1}^{'} + y_{2} v_{2}^{'} = 0 \end{matrix}

从而

y^{'} = y_{1}^{'} v_{1} + y_{2}^{'} v_{2}

再求导，得

y^{″} = y_{1}^{'} v_{1}^{'} + y_{2}^{'} v_{2}^{'} + y_{1}^{″} v_{1} + y_{2}^{″} v_{2}

把 $y, y^{'}, y^{″}$ 代入方程 $(4)$ ，得

y_{1}^{'} v_{1}^{'} + y_{2}^{'} v_{2}^{'} + y_{1}^{″} v_{1} + y_{2}^{″} v_{2} + P (y_{1}^{'} v_{1} + y_{2}^{'} v_{2}) + Q (y_{1} v_{1}, y_{2} v_{2}) = f

整理，得

y_{1}^{'} v_{1}^{'} + y_{2}^{'} v_{2}^{'} + (y_{1}^{″} + P y_{1}^{'} + Q y_{1}) v_{1} + (y_{2}^{″} + P y_{2}^{'} + Q y_{2}) v_{2} = f

注意到 $y_{1}$ 及 $y_{2}$ 是齐次方程 $(2)$ 的解，故上式即为

\begin{matrix} (8) & y_{1}^{'} v_{1}^{'} + y_{2}^{'} v_{2}^{'} = f \end{matrix}

联立方程 $(7)$ 与 $(8)$ ，在系数行列式

W = | \begin{matrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} \end{matrix} | = y_{1} y_{2}^{'} - y_{1}^{'} y_{2} \neq 0

时，可解得

v_{1}^{'} = - \frac{y_{2} f}{W}, v_{2}^{'} = \frac{y_{1} f}{W} .

对上两式积分（假定 $f (x)$ 连续），得

v_{1} = C_{1} + \int (- \frac{y_{2} f}{W}) d x, v_{2} = C_{2} + \int \frac{y_{1} f}{W} d x .

于是得非齐次方程 $(1)$ 的通解为

y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - y_{1} \int \frac{y_{2} f}{W} d x + y_{2} \int \frac{y_{1} f}{W} d x .

例1 已知齐次方程 $(x - 1) y^{″} - x y^{'} + y = 0$ 的通解为 $Y (x) = C_{1} x + C_{2} e^{x}$ ，求非齐次方程 $(x - 1) y^{″} - x y^{'} + y = (x - 1)^{2}$ 的通解。
解：把所给方程写成标准形式

y^{″} - \frac{x}{x - 1} y^{'} + \frac{1}{x - 1} = x - 1

令 $y = x v_{1} + e^{x} v_{2}$ ，按照

{\begin{cases} y_{1} v_{1}^{'} + y_{2} v_{2}^{'} = 0 \\ y_{1}^{'} v_{1}^{'} + y_{2}^{'} v_{2}^{'} = f \end{cases}

有

{\begin{cases} x v_{1}^{'} + e^{x} v_{2}^{'} = 0 \\ v_{1}^{'} + e^{x} v_{2}^{'} = x - 1 \end{cases}

解得

v_{1}^{'} = - 1, v_{2}^{'} = x e^{- x} .

积分，得

v_{1} = C_{1} - x, v_{2} = C_{2} - (x + 1) e^{- x} .

于是所求非齐次方程的通解为

y = C_{1} x + C_{2} e^{x} - (x^{2} + x + 1) .

如果只知齐次方程 $(2)$ 的一个不恒为零的解 $y_{1} (x)$ ，那么，利用变换 $y = u y_{1} (x)$ ，可把非齐次方程 $(1)$ 化为一阶线性方程。

事实上，把

y = y_{1} u, y^{'} = y_{1} u^{'} + y_{1}^{'} u, y^{″} = y_{1} u^{″} + 2 y_{1}^{'} u^{'} + y_{1}^{″} u

代入方程 $(1)$ ，得

y_{1} u^{″} + 2 y_{1}^{'} u^{'} + y_{1}^{″} u + P (y_{1} u^{'} + y_{1}^{'} u) + Q y_{1} u = f,

即

y_{1} u^{″} + (2 y_{1}^{'} + P y_{1}) u^{'} + (y_{1}^{″} + P y_{1}^{'} + Q y_{1}) u = f,

由于 $y_{1}^{″} + P y_{1}^{'} + Q y_{1} \equiv 0$ ，故上式为

y_{1} u^{″} + (2 y_{1}^{'} + P y_{1}) u^{'} = f .

令 $u^{'} = z$ ，上式即化为一阶线性方程

\begin{matrix} (9) & y_{1} z^{'} + (2 y_{1}^{'} + P y_{1}) z = f . \end{matrix}

把方程 $(4)$ 化为方程 $(9)$ 以后，按一阶线性方程的解法，设求得方程 $(9)$ 的通解为

z = C_{2} Z (x) + z^{*} (x)

积分得

u = C_{1} + C_{2} U (x) + u^{*} (x) (其 中 U^{'} (x) = Z (x), u^{*^{'}} (x) = z^{*} (x)),

上式两端同乘 $y_{1} (x)$ ，便得方程 $(4)$ 的通解

y = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} U (x) y_{1} (x) + u^{*} (x) y_{1} (x)

上述方法也适用于求齐次方程 $(2)$ 的通解。

例2 已知 $y_{1} (x) = e^{x}$ 是齐次方程 $y^{″} - 2 y^{'} + y = 0$ 的解，求非齐次方程 $y^{″} - 2 y^{'} + y = \frac{1}{x} e^{x}$ .
解：令 $y = e^{x} u$ ，则 $y^{'} = e^{x} (u^{'} + u), y^{″} = e^{x} (u^{″} + 2 u^{'} + u)$ ，代入非齐次方程，得

e^{x} (u^{″} + 2 u^{'} + u) - 2 e^{x} (u^{'} + u) + e^{x} u = \frac{1}{x} e^{x},

即

e^{x} u = \frac{1}{x} e^{x}, u^{″} = \frac{1}{x} .

只要直接积分，便得

u^{'} = C + \ln | x |,

再积分得

u = C_{1} + C x + x \ln | x | - x,

即

u = C_{1} + C_{2} x + x \ln | x | (C_{2} = C - 1) .

于是所求通解为

y = C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x} + x e^{x} \ln | x | .

posted @ 2024-10-22 14:08 暮颜阅读(162) 评论(0) 编辑收藏举报

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