高等数学 7.5可降阶的高阶微分方程

目录

• 一、\(y^{(n)} = f(x)\) 型的微分方程
• 二、\(y'' = f(x, y')\) 型的微分方程
• 三、\(y'' = f(y, y')\) 型的微分方程

一、\(y^{(n)} = f(x)\) 型的微分方程

微分方程

\[y^{(n)} = f(x) \tag{1} \]

的右端仅含有自变量 \(x\) 。容易看出，只要把 \(y^{(n - 1)}\) 作为新的未知函数，那么 \((1)\) 式就是新未知函数的一阶微分方程。两边积分，就得到一个 \(n - 1\) 阶的微分方程

\[y^{(n - 1)} = \int f(x) \mathrm{d}x + C_1. \]

同理可得

\[y^{(n - 2)} = \int \left[ \int f(x) \mathrm{d}x + C_1 \right] \mathrm{d}x + C_2. \]

依此法继续进行，接连积分 \(n\) 次，便得方程 \((1)\) 的含有 \(n\) 个任意常数的通解。

例1 求微分方程 \(y''' = \mathrm{e}^{2x} - \cos x\) 的通解。
解：对所给方程接连积分三次，得

\[\begin{align*} y'' &= \cfrac{1}{2} \mathrm{e}^{2x} - \sin x + C, \\ y' &= \cfrac{1}{4} \mathrm{2}^{2x} + \cos x + Cx + C_2, \\ y &= \cfrac{1}{8} \mathrm{e}^{2x} + \sin x + C_1 x^2 + C_2 x + C_3 \quad \left(C_1 = \cfrac{C}{2} \right) \end{align*} \]

这就是所求的通解。

二、\(y'' = f(x, y')\) 型的微分方程

方程

\[y'' = f(x, y') \tag{2} \]

的右端不显含未知函数 \(y\) 。如果我们设 \(y' = p\) ，那么

\[y'' = \cfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = p' \]

而方程 \((2)\) 就成为

\[p' = f(x, p) \]

这是一个关于变量 \(x, p\) 的一阶微分方程。设其通解为

\[p = \varphi(x, C_1) \]

但是 \(p = \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)，因此又得到一个一阶微分方程

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi(x, C_1) . \]

对它进行积分，便得方程 \((2)\) 的通解为

\[y = \int \varphi(x, C_1) \mathrm{d}x + C_2 \]

例2 求微分方程 \((1 + x^2) y'' = 2xy'\) 满足初值条件 \(\left . y \right|_{x = 0} = 1, \left . y' \right|_{x = 0} = 3\) 的特解。
解 ：所给方程是 \(y'' = f(x, y')\) 型的。设 \(y' = p\) ，代入方程并分离变量后，有

\[\cfrac{\mathrm{d}p}{p} = \cfrac{2x}{1 + x^2} \mathrm{d}x . \]

两端积分，得

\[\ln |p| = \ln{(1 + x^2)} + C , \]

即

\[p = y' = C_1 (1 + x^2) \quad (C_1 = \pm \mathrm{e}^C) . \]

由条件 \(\left . y' \right|_{x = 0} = 3\) ，得

\[C_1 = 3 \]

所以

\[y' = 3(1 + x^2) . \]

两端再积分，得

\[y = x^3 + 3x + C_2 . \]

又由条件 \(\left . y \right|_{x = 0} = 1\) ，得

\[C_2 = 1 \]

于是所求的特解为

\[y = x^3 + 3x + 1 \]

三、\(y'' = f(y, y')\) 型的微分方程

方程

\[y'' = f(y, y') \tag{3} \]

中不明显地含自变量 \(x\) ，为了求出它的解，我们令 \(y' = p\) ，并利用复合函数的求导法则把 \(y''\) 化为对 \(y\) 的导数，即

\[y'' = \cfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \cdot \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = p \cfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} . \]

这样，方程 \((3)\) 就成为

\[p \cfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = f(y, p) . \]

这是一个关于变量 \(y, p\) 的一阶微分方程，设它的通解为

\[y' = p = \varphi(y, C_1) , \]

分离变量并积分，便得到方程 \((3)\) 的通解为

\[\int \cfrac{\mathrm{d}y}{\varphi(y, C_1)} = x + C_2 . \]

例3 求微分方程 \(y y'' - y'^2 = 0\) 的通解。
解：方程不明显的含自变量 \(x\) ，设

\[y' = p \]

则 \(y'' = p \cfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\) ，代入原方程，得

\[y p \cfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} - p^2 = 0 . \]

在 \(y \neq 0, p \neq 0\) 时，约去 \(p\) 并分离变量，得

\[\cfrac{\mathrm{d}p}{p} = \cfrac{\mathrm{d}y}{y} . \]

两端积分，得

\[\ln |p| = \ln |y| + C \]

即

\[p = C_1 y \quad 或 \quad y' = C_1 y \quad (C_1 = \pm \mathrm{e}^C) \]

再分离变量并两端积分，便得原方程得通解为

\[\ln |y| = C_1 x + C'_2 , \]

或

\[y = C_2 \mathrm{e}^{C_1 x} \quad (C_2 = \pm \mathrm{e}^{C'_2}) . \]