高等数学 7.5可降阶的高阶微分方程

一、 $y^{(n)} = f (x)$ 型的微分方程
二、 $y^{″} = f (x, y^{'})$ 型的微分方程
三、 $y^{″} = f (y, y^{'})$ 型的微分方程

一、 $y^{(n)} = f (x)$ 型的微分方程

微分方程

\begin{matrix} (1) & y^{(n)} = f (x) \end{matrix}

的右端仅含有自变量 $x$ 。容易看出，只要把 $y^{(n - 1)}$ 作为新的未知函数，那么 $(1)$ 式就是新未知函数的一阶微分方程。两边积分，就得到一个 $n - 1$ 阶的微分方程

y^{(n - 1)} = \int f (x) d x + C_{1} .

同理可得

y^{(n - 2)} = \int [\int f (x) d x + C_{1}] d x + C_{2} .

依此法继续进行，接连积分 $n$ 次，便得方程 $(1)$ 的含有 $n$ 个任意常数的通解。

例1 求微分方程 $y^{‴} = e^{2 x} - \cos x$ 的通解。
解：对所给方程接连积分三次，得

\begin{aligned} y^{″} & = \frac{1}{2} e^{2 x} - \sin x + C, \\ y^{'} & = \frac{1}{4} 2^{2 x} + \cos x + C x + C_{2}, \\ y & = \frac{1}{8} e^{2 x} + \sin x + C_{1} x^{2} + C_{2} x + C_{3} (C_{1} = \frac{C}{2}) \end{aligned}

这就是所求的通解。

二、 $y^{″} = f (x, y^{'})$ 型的微分方程

方程

\begin{matrix} (2) & y^{″} = f (x, y^{'}) \end{matrix}

的右端不显含未知函数 $y$ 。如果我们设 $y^{'} = p$ ，那么

y^{″} = \frac{d p}{d x} = p^{'}

而方程 $(2)$ 就成为

p^{'} = f (x, p)

这是一个关于变量 $x, p$ 的一阶微分方程。设其通解为

p = φ (x, C_{1})

但是 $p = \frac{d y}{d x}$ ，因此又得到一个一阶微分方程

\frac{d y}{d x} = φ (x, C_{1}) .

对它进行积分，便得方程 $(2)$ 的通解为

y = \int φ (x, C_{1}) d x + C_{2}

例2 求微分方程 $(1 + x^{2}) y^{″} = 2 x y^{'}$ 满足初值条件 ${y |}_{x = 0} = 1, {y^{'} |}_{x = 0} = 3$ 的特解。
解：所给方程是 $y^{″} = f (x, y^{'})$ 型的。设 $y^{'} = p$ ，代入方程并分离变量后，有

\frac{d p}{p} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x .

两端积分，得

\ln | p | = \ln (1 + x^{2}) + C,

即

p = y^{'} = C_{1} (1 + x^{2}) (C_{1} = \pm e^{C}) .

由条件 ${y^{'} |}_{x = 0} = 3$ ，得

C_{1} = 3

所以

y^{'} = 3 (1 + x^{2}) .

两端再积分，得

y = x^{3} + 3 x + C_{2} .

又由条件 ${y |}_{x = 0} = 1$ ，得

C_{2} = 1

于是所求的特解为

y = x^{3} + 3 x + 1

三、 $y^{″} = f (y, y^{'})$ 型的微分方程

方程

\begin{matrix} (3) & y^{″} = f (y, y^{'}) \end{matrix}

中不明显地含自变量 $x$ ，为了求出它的解，我们令 $y^{'} = p$ ，并利用复合函数的求导法则把 $y^{″}$ 化为对 $y$ 的导数，即

y^{″} = \frac{d p}{d x} = \frac{d p}{d y} \cdot \frac{d y}{d x} = p \frac{d p}{d y} .

这样，方程 $(3)$ 就成为

p \frac{d p}{d y} = f (y, p) .

这是一个关于变量 $y, p$ 的一阶微分方程，设它的通解为

y^{'} = p = φ (y, C_{1}),

分离变量并积分，便得到方程 $(3)$ 的通解为

\int \frac{d y}{φ (y, C_{1})} = x + C_{2} .

例3 求微分方程 $y y^{″} - y^{' 2} = 0$ 的通解。
解：方程不明显的含自变量 $x$ ，设

y^{'} = p

则 $y^{″} = p \frac{d p}{d y}$ ，代入原方程，得

y p \frac{d p}{d y} - p^{2} = 0 .

在 $y \neq 0, p \neq 0$ 时，约去 $p$ 并分离变量，得

\frac{d p}{p} = \frac{d y}{y} .

两端积分，得

\ln | p | = \ln | y | + C

即

p = C_{1} y 或 y^{'} = C_{1} y (C_{1} = \pm e^{C})

再分离变量并两端积分，便得原方程得通解为

\ln | y | = C_{1} x + C_{2}^{'},

或

y = C_{2} e^{C_{1} x} (C_{2} = \pm e^{C_{2}^{'}}) .

posted @ 2024-10-21 18:48 暮颜阅读(126) 评论(0) 编辑收藏举报

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