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一、线性方程
方程
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x) y = Q(x) \tag{1}
\]
叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数 \(y\) 及其导数是一次方程。如果 \(Q(x) \equiv 0\) ，那么方程 \((1)\) 称为齐次的；如果 \(Q(x) \not\equiv 0\)，那么方程 \((1)\) 称为非齐次的。
设 \((1)\) 为非齐次线性方程。为了求出非齐次线性方程 \((1)\) 的解，先把 \(Q(x)\) 换成零而写出方程
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x) y = 0 \tag{2}
\]
方程 \((2)\) 叫做对应于非齐次线性方程 \((1)\) 的齐次线性方程。方程 \((2)\) 是可分离变量的，分离变量后得
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{y} = -P(x) \mathrm{d}x
\]
两端积分，得，
\[\ln |y| = - \int P(x) \mathrm{d}x + C_1
\]
或
\[y = C \mathrm{e}^{- \int P(x) \mathrm{d}x} \quad (C = \pm \mathrm{e}^{C_1})
\]
这是对应的齐次线性方程 \((2)\) 的通解。
现在用常数变易法来求非齐次线性方程 \((1)\) 的通解。这方法是把 \((2)\) 通解中的 \(C\) 换成 \(x\) 的未知函数 \(u(x)\) ，即作变换
\[y = u \mathrm{e}^{- \int P(x) \mathrm{d}x} \tag{3}
\]
于是
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u' \mathrm{e}^{- \int P(x) \mathrm{d}x} - u P(x) \mathrm{e}^{- \int P(x) \mathrm{d}x} \tag{4}
\]
将 \((3)\) 和 \((4)\) 代入方程 \((1)\) 得
\[u' \mathrm{e}^{- \int P(x) \mathrm{d}x} - u P(x) \mathrm{e}^{- \int P(x) \mathrm{d}x} + P(x) u \mathrm{e}^{- \int P(x) \mathrm{d}x} = Q(x) ,
\]
即
\[u' \mathrm{e}^{- \int P(x) \mathrm{d}x} = Q(x) \quad u' = Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d}x}
\]
两端积分，得
\[u = \int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d}x} \mathrm{d}x + C
\]
把上式代入 \((3)\) ，便得非齐次线性方程 \((1)\) 的通解
\[y = \mathrm{e}^{- \int P(x) \mathrm{d}x} \left[ \int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d}x} + C \right] \tag{5}
\]
将 \((5)\) 改写成两项之和
\[y = C \mathrm{e}^{- \int P(x) \mathrm{d}x} + \mathrm{e}^{- \int P(x) \mathrm{d}x} \int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d}x} \mathrm{d}x
\]
上式右端第一项是对应的齐次线性方程 \((2)\) 的通解，第二项是非齐次线性方程 \((1)\) 的一个特解（在 \((1)\) 的通解 \((5)\) 中取 \(C=0\) 便得到这个特解）。由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。
例1 求方程 \(\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - \cfrac{2y}{x + 1} = (x + 1)^{\frac{5}{2}}\) 的通解.
解：这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - \cfrac{2y}{x + 1} = 0, \\
\cfrac{\mathrm{d}y}{y} = \cfrac{2 \mathrm{d}x}{x + 1}, \\
\ln |y| = 2 \ln{|x + 1|} + C_1, \\
y = C(x + 1)^2 (C = \pm \mathrm{e}^{C_1}).
\]
用常数变易法，把 \(C\) 换成 \(u\) ，即令
\[y = u (x + 1)^2 \tag{6}
\]
那么
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u' (x + 1)^2 + 2u(x + 1),
\]
代入所给非齐次方程，得
\[u' = (x + 1)^{\frac{1}{2}}
\]
两端积分，得
\[u = \cfrac{2}{3} (x + 1)^{\frac{3}{2}} + C
\]
再把上式代入 \((6)\) 式，即得所求方程的通解为
\[y = (x + 1)^2 \left[ \cfrac{2}{3} (x + 1)^{\frac{3}{2}} + C \right] .
\]
例2 解方程 \(\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{1}{x + y}\) .
解：若把所给方程变形为
\[\cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = x + y
\]
即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法即可求得通解。
也可用变量代换来解所给方程。令 \(x + y = u\)，则 \(y = u - x, \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} - 1\)。代入原方程，得
\[\cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} - 1 = \cfrac{1}{u}, \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \cfrac{u + 1}{u}.
\]
分离变量，得
\[\cfrac{u}{u + 1} \mathrm{d}u = \mathrm{d}x
\]
两端积分得
\[u - \ln |u + 1| = x + C_1 .
\]
以 \(u = x + y\) 代入上式，即得
\[y - \ln |x + y + 1| = C_1
\]
或
\[x = C \mathrm{e}^{y} - y - 1 \quad (C = \pm \mathrm{e}^{-C_1})
\]
在上述求解过程中，假定了 \(u + 1 \neq 0\) ，即 \(x + y + 1 \neq 0\) 。事实上，\(x + y + 1 = 0\) 也是方程的解。为了补充这个失去的解，在 \(C = \pm \mathrm{e}^{-C_1} \neq 0\) 中补充 \(C = 0\)，即
\[x = C \mathrm{e}^{y} - y - 1,
\]
其中 \(C\) 为任意常数。
*二、伯努利方程
方程
\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x) y = Q(x) y^n \quad (n \neq 0, 1) \tag{7}
\]
叫做 伯努利（Bernoulli） 方程。当 \(n = 0\) 或 \(n = 1\) 时，这是线性微分方程。当 \(n \neq 0\) 且 \(n \neq 1\) 时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的。事实上，以 \(y^n\) 除方程 \((7)\) 的两端，得
\[y^{-n} \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x) y^{1 - n} = Q(x) \tag{8}
\]
容易看出，上式左端第一项与 \(\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y^{1 - n})\) 只差了一个常数因子 \(1 - n\) ，因此引入新的因变量
\[z = y^{1 - n}
\]
那么
\[\cfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = (1 - n) y^{-n} \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
\]
用 \((1 - n)\) 乘方程 \((8)\) 的两端，在通过上述代换便得线性方程
\[\cfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} + (1 - n) P(x) z = (1 - n)Q(x) .
\]
求出这方程通解后，以 \(y^{1 - n}\) 代换 \(z\) 便得到伯努利方程的通解。
例3 求方程 \(\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \cfrac{y}{x} = a(\ln x) y^2\) 的通解。
解：
以 \(y^2\) 除以方程两端，得
\[y^{-2} \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \cfrac{1}{x} y^{-1} = a \ln x,
\]
即
\[-\cfrac{\mathrm{d}(y^{-1})}{\mathrm{d}x} + \cfrac{1}{x} y^{-1} = a \ln x .
\]
令 \(z = y^{-1}\) ，则上述方程成为
\[\cfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} - \cfrac{1}{x} z = -a \ln x .
\]
这是一个线性方程，它的通解为
\[z = x \left[ C - \cfrac{a}{2} (\ln x)^2 \right] .
\]
以 \(y^{-1}\) 代 \(z\) 得所求方程的通解为
\[y x \left[ C - \cfrac{a}{2} (\ln x)^2 \right] = 1.
\]
