高等数学 7.4一阶线性微分方程
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一、线性方程
方程
叫做一阶线性微分方程,因为它对于未知函数
设
方程
两端积分,得,
或
这是对应的齐次线性方程
现在用常数变易法来求非齐次线性方程
于是
将
即
两端积分,得
把上式代入
将
上式右端第一项是对应的齐次线性方程
例1 求方程
解:这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解
用常数变易法,把
那么
代入所给非齐次方程,得
两端积分,得
再把上式代入
例2 解方程
解:若把所给方程变形为
即为一阶线性方程,则按一阶线性方程的解法即可求得通解。
也可用变量代换来解所给方程。令
分离变量,得
两端积分得
以
或
在上述求解过程中,假定了
其中
*二、伯努利方程
方程
叫做 伯努利(Bernoulli) 方程。当
容易看出,上式左端第一项与
那么
用
求出这方程通解后,以
例3 求方程
解:
以
即
令
这是一个线性方程,它的通解为
以
作者: 暮颜 —— 衣带渐宽终不悔
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