高等数学 7.3 齐次方程

一、齐次方程
*二、可化为齐次的方程

一、齐次方程

如果一阶微分方程可化成

\begin{matrix} (1) & \frac{d y}{d x} = φ (\frac{y}{x}) \end{matrix}

的形式，那么就称这方程为齐次方程。

在齐次方程

\frac{d y}{d x} = φ (\frac{y}{x})

中，引入新的未知函数

\begin{matrix} (2) & u = \frac{y}{x} \end{matrix}

就可以把它化为可分离变量的方程。因为由 $(2)$ 有

y = u x, \frac{d y}{d x} = u + x \frac{d u}{d x}

代入方程 $(1)$ 便得方程

u + x \frac{d u}{d x} = φ (u)

即

x \frac{d u}{d x} = φ (u) - u

分离变量,得

\frac{d u}{φ (u) - u} = \frac{d x}{x}

两端积分，得

\int \frac{d u}{φ (u) - u} = \int \frac{d x}{x}

求出积分后，再以 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$ ，便得所给齐次方程的通解。

例1 解方程 $y^{2} + x^{2} \frac{d y}{d x} = x y \frac{d y}{d x}$ .
解：原方程可写成

\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x y - x^{2}} = \frac{{(\frac{y}{x})}^{2}}{\frac{y}{x} - 1},

因此是齐次方程。令 $\frac{y}{x} = u$ ，则

y = u x, \frac{d y}{d x} = u + x \frac{d u}{d x}

于是原方程变为

u + x \frac{d u}{d x} = \frac{u^{2}}{u - 1}

即

x \frac{d u}{d x} = \frac{u}{u - 1}

分离变量，得

(1 - \frac{1}{u}) d u = \frac{d x}{x}

两端积分，得

u - \ln | u | + C_{1} = \ln | x |

或写为

\ln | x u | = u + C_{1}

以 $\frac{y}{x}$ 代上式中的 $u$ ，便得所给方程的通解为

\ln | y | = \frac{y}{x} + C_{1} 或 y = C e^{\frac{y}{x}} (C = \pm e^{C_{1}}) .

*二、可化为齐次的方程

方程

\begin{matrix} (3) & \frac{d y}{d x} = \frac{a x + b y + c}{a_{1} x + b_{1} y + c_{1}} \end{matrix}

当 $c = c_{1} = 0$ 时是齐次的，否则不是齐次的。在非齐次的情形，可用下列变换把它化为齐次方程：令

x = X + h, y = Y + k,

其中 $h$ 及 $k$ 是待定的常数。于是

d x = d X, d y = d Y,

从而方程 $(3)$ 成为

\frac{d Y}{d X} = \frac{a X + b Y + a h + b k + c}{a_{1} X + b_{1} Y + a_{1} h + b_{1} k + c_{1}}

如果方程组

{\begin{cases} a h + b k + c = 0 \\ a_{1} h + b_{1} k + c_{1} = 0 \end{cases}

的系数行列式 $| \begin{matrix} a & b \\ a_{1} & b_{1} \end{matrix} | \neq 0$ ，即 $\frac{a_{1}}{a} \neq \frac{b_{1}}{b}$ ，那么可以定出 $h$ 及 $k$ 使它们满足上述方程组。这样，方程 $(3)$ 便化为齐次方程

\frac{d Y}{d X} = \frac{a X + b Y}{a_{1} X + b_{1} Y} .

求出这齐次方程的通解后，在通解中以 $x - h$ 代 $X$ ， $y - k$ 代 $Y$ ，，便得方程 $(3)$ 的通解。

当 $\frac{a_{1}}{a} = \frac{b_{1}}{b}$ 时， $h$ 及 $k$ 无法求得，因此上述方法不能应用。但这是令 $\frac{a_{1}}{a} = \frac{b_{1}}{b} = λ$ ，从而方程 $(3)$ 可写成

\frac{d y}{d x} = \frac{a x + b y + c}{λ (a x + b y) + c_{1}} .

引入新变量 $v = a x + b y$ ，则

\frac{d v}{d x} = a + b \frac{d y}{d x} 或 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{b} (\frac{d v}{d x} - a) .

于是方程 $(3)$ 称为

\frac{1}{b} (\frac{d v}{d x} - a) = \frac{v + c}{λ v + c_{1}},

这是可分离变量的方程。

以上介绍的方法可以应用于更一般的方程

\frac{d y}{d x} = f (\frac{a x + b y + c}{a_{1} x + b_{1} y + c_{1}})

例2 解方程 $(2 x + y - 4) d x + (x + y - 1) d y = 0$ .
解：令 $x = X + h, y = Y + k$ ，则 $d x = d X, d y = d Y$ ，代入原方程得

(2 X + Y + 2 h + k - 4) d X + (X + Y + h + k - 1) d Y = 0

解方程组

{\begin{cases} 2 h + k - 4 = 0 \\ h + k - 1 = 0 \end{cases}

得 $h = 3, k = - 2$ .令 $x = X + 3, y = Y - 2$ ，原方程成为

(2 X + Y) d X + (X + Y) d Y = 0

或

\frac{d Y}{d X} = - \frac{2 X + Y}{X + Y} = - \frac{2 + \frac{Y}{X}}{1 + \frac{Y}{X}},

这是齐次方程。
令 $\frac{Y}{X} = u$ ，则 $Y = X u, \frac{d Y}{d X} = u + X \frac{d u}{d X}$ ，于是方程变为

u + X \frac{d u}{d X} = - \frac{2 + u}{1 + u},

或

X \frac{d u}{d X} = - \frac{2 + 2 u + u^{2}}{1 + u} .

分离变量得

\frac{d X}{X} = - \frac{u + 1}{2 + 2 u + u^{2}} d u .

积分得

\ln C_{1} - \frac{1}{2} \ln (u^{2} + 2 u + 2) = \ln | X |,

于是

\frac{C_{1}}{\sqrt{u^{2} + 2 u + 2}} = | X |

或

C_{2} = X^{2} (u^{2} + 2 u + 2) (C_{2} = C_{1}^{2}),

即

Y^{2} + 2 X Y + 2 X^{2} = C_{2} .

以 $X = x - 3, Y = y + 2$ 代入上式并化简，得

2 x^{2} + 2 x y + y^{2} - 8 x - 2 y = C (C = C_{2} - 10) .

posted @ 2024-10-20 15:44 暮颜阅读(62) 评论(0) 编辑收藏举报

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