高等数学 7.3 齐次方程

一、齐次方程

如果一阶微分方程可化成

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi \left( \cfrac{y}{x} \right) \tag{1} \]

的形式,那么就称这方程为齐次方程。

在齐次方程

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi \left( \cfrac{y}{x} \right) \]

中,引入新的未知函数

\[u = \cfrac{y}{x} \tag{2} \]

就可以把它化为可分离变量的方程。因为由 \((2)\)

\[y = ux, \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u + x \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \]

代入方程 \((1)\) 便得方程

\[u + x \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \varphi(u) \]

\[x \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \varphi(u) - u \]

分离变量,得

\[\cfrac{\mathrm{d}u}{\varphi(u) - u} = \cfrac{\mathrm{d}x}{x} \]

两端积分,得

\[\int \cfrac{\mathrm{d}u}{\varphi(u) - u} = \int \cfrac{\mathrm{d}x}{x} \]

求出积分后,再以 \(\cfrac{y}{x}\) 代替 \(u\) ,便得所给齐次方程的通解。

例1 解方程 \(y^2 + x^2 \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = xy \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) .
解:原方程可写成

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{y^2}{xy - x^2} = \cfrac{\left( \cfrac{y}{x} \right)^2}{\cfrac{y}{x} -1}, \]

因此是齐次方程。令 \(\cfrac{y}{x} = u\),则

\[y = ux, \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u + x \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \]

于是原方程变为

\[u + x \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \cfrac{u^2}{u - 1} \]

\[x \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \cfrac{u}{u - 1} \]

分离变量,得

\[\left( 1 - \cfrac{1}{u} \right) \mathrm{d}u = \cfrac{\mathrm{d}x}{x} \]

两端积分,得

\[u - \ln |u| + C_1 = \ln |x| \]

或写为

\[\ln |xu| = u + C_1 \]

\(\cfrac{y}{x}\) 代上式中的 \(u\) ,便得所给方程的通解为

\[\ln |y| = \cfrac{y}{x} + C_1 \quad 或 \quad y = C \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} (C = \pm \mathrm{e}^{C_1}). \]

*二、可化为齐次的方程

方程

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{ax + by + c}{a_1 x + b_1 y + c_1} \tag{3} \]

\(c = c_1 = 0\) 时是齐次的,否则不是齐次的。在非齐次的情形,可用下列变换把它化为齐次方程:令

\[x = X + h, \quad y = Y + k, \]

其中 \(h\)\(k\) 是待定的常数。于是

\[\mathrm{d}x = \mathrm{d}X, \quad \mathrm{d}y = \mathrm{d}Y, \]

从而方程 \((3)\) 成为

\[\cfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = \cfrac{aX + bY + ah + bk + c}{a_1X + b_1Y + a_1h + b_1k + c_1} \]

如果方程组

\[\begin{equation*} \begin{cases} ah + bk + c = 0 \\ a_1h + b_1k + c_1 = 0 \end{cases} \end{equation*} \]

的系数行列式 \(\left|\begin {array}{c} a&b \\ a_1&b_1 \end{array}\right| \neq 0\),即 \(\cfrac{a_1}{a} \neq \cfrac{b_1}{b}\) ,那么可以定出 \(h\)\(k\) 使它们满足上述方程组。这样,方程 \((3)\) 便化为齐次方程

\[\cfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = \cfrac{aX + bY}{a_1X + b_1Y} . \]

求出这齐次方程的通解后,在通解中以 \(x - h\)\(X\)\(y - k\)\(Y\) ,,便得方程 \((3)\) 的通解。

\(\cfrac{a_1}{a} = \cfrac{b_1}{b}\) 时,\(h\)\(k\) 无法求得,因此上述方法不能应用。但这是令 \(\cfrac{a_1}{a} = \cfrac{b_1}{b} = \lambda\) ,从而方程 \((3)\) 可写成

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{ax + by + c}{\lambda (ax + by) + c_1} . \]

引入新变量 \(v = ax + by\),则

\[\cfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} = a + b \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \quad 或 \quad \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{1}{b} \left( \cfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} - a \right) . \]

于是方程 \((3)\) 称为

\[\cfrac{1}{b} \left( \cfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} - a \right) = \cfrac{v + c}{\lambda v + c_1} , \]

这是可分离变量的方程。

以上介绍的方法可以应用于更一般的方程

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f \left( \cfrac{ax + by + c}{a_1x + b_1y + c_1} \right) \]

例2 解方程 \((2x + y - 4) \mathrm{d}x + (x + y - 1)\mathrm{d}y = 0\) .
解:令 \(x = X + h, y = Y + k\) ,则 \(\mathrm{d}x = \mathrm{d}X, \mathrm{d}y = \mathrm{d}Y\) ,代入原方程得

\[(2X + Y + 2h + k - 4)\mathrm{d}X + (X + Y + h + k - 1)\mathrm{d}Y = 0 \]

解方程组

\[\begin{equation*} \begin{cases} 2h + k - 4 = 0 \\ h + k - 1 = 0 \end{cases} \end{equation*} \]

\(h = 3, k = -2\) .令 \(x = X + 3, y = Y - 2\),原方程成为

\[(2X + Y)\mathrm{d}X + (X + Y)\mathrm{d}Y = 0 \]

\[\cfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = - \cfrac{2X + Y}{X + Y} = - \cfrac{2 + \cfrac{Y}{X}}{1 + \cfrac{Y}{X}} , \]

这是齐次方程。
\(\cfrac{Y}{X} = u\) ,则 \(Y = Xu, \cfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = u + X \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X}\) ,于是方程变为

\[u + X \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = - \cfrac{2 + u}{1 + u} , \]

\[X \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = - \cfrac{2 + 2u + u^2}{1 + u} . \]

分离变量得

\[\cfrac{\mathrm{d}X}{X} = - \cfrac{u + 1}{2 + 2u + u^2} \mathrm{d}u . \]

积分得

\[\ln C_1 - \cfrac{1}{2} \ln{(u^2 + 2u + 2)} = \ln |X| , \]

于是

\[\cfrac{C_1}{\sqrt{u^2 + 2u + 2}} = |X| \]

\[C_2 = X^2 (u^2 + 2u + 2) \quad (C_2 = C_1^2) , \]

\[Y^2 + 2XY + 2X^2 = C_2 . \]

\(X = x - 3, Y = y + 2\) 代入上式并化简,得

\[2x^2 + 2xy + y^2 - 8x - 2y = C \quad (C = C_2 - 10). \]

posted @ 2024-10-20 15:44  暮颜  阅读(5)  评论(0编辑  收藏  举报