高等数学 7.2 可分离变量的微分方程

讨论一阶微分方程

\[y' = f(x, y) \tag{1} \]

的一些解法。

一阶微分方程有时也写成如下的对称形式：

\[P(x, y) \mathrm{d}x + Q(x, y) \mathrm{d}y = 0 \tag{2} \]

在方程 \((2)\) 中，变量 \(x\) 与 \(y\) 对称，它既可以看作是以 \(x\) 为自变量 \(y\) 为因变量的方程

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \cfrac{P(x, y)}{Q(x, y)} \]

（这时 \(Q(x, y) \neq 0\)），也可以看做是以 \(y\) 为自变量 \(x\) 为因变量的方程

\[\cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = - \cfrac{Q(x, y)}{P(x, y)} \]

（这时 \(P(x, y) \neq 0\)）。

一般地，如果一个一阶微分方程能写成

\[\mathrm{g}(y) \mathrm{d}y = f(x) \mathrm{d}x \tag{3} \]

的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含 \(y\) 的函数和 \(\mathrm{d}y\) ，另一端只含 \(x\) 的函数和 \(\mathrm{d}x\) ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

假定方程 \((3)\) 中的函数 \(\mathrm{g}(y)\) 和 \(f(x)\) 是连续的。设 \(y = \varphi(x)\) 是方程 \((3)\) 的解，将它代入 \((3)\) 中得到恒等式

\[\mathrm{g}[\varphi(x)] \varphi'(x) \mathrm{d}x = f(x) \mathrm{d}x \]

将上式两端积分，并由 \(y = \varphi(x)\) 引进变量 \(y\) ，得

\[\int \mathrm{g}(y) \mathrm{d}y = \int f(x) \mathrm{d}x \]

设 \(G(y)\) 及 \(F(x)\) 依次为 \(\mathrm{g}(y)\) 及 \(f(x)\) 的原函数，于是有

\[G(y) = F(x) + C \tag{4} \]

因此方程 \((3)\) 的解满足关系式 \((4)\) 。反之，如果 \(y = \Phi(x)\) 是由关系式 \((4)\) 所确定的隐函数，那么在 \(\mathrm{g}(y) \neq 0\) 的条件下，\(y = \Phi(x)\) 也是方程 \((3)\) 的解，事实上，由隐函数的求导法可知，当 \(\mathrm{g}(y) \neq 0\) 时，

\[\Phi'(x) = \cfrac{F'(x)}{G'(y)} = \cfrac{f(x)}{\mathrm{g}(y)} , \]

这就表示函数 \(y = \Phi(x)\) 满足方程 \((3)\) 。所以，如果已分离变量的方程 \((3)\) 中，\(\mathrm{g}(y)\) 和 \(f(x)\) 是连续的，且 \(\mathrm{g}(y) \neq 0\) ，那么 \((3)\) 式两端积分后得到的关系式 \((4)\) ，就用隐式给出了方程 \((3)\) 的解，\((4)\) 式就叫做微分方程 \((3)\) 的隐式解。又由于关系式 \((4)\) 中含有任意常数，因此 \((4)\) 式所确定的隐函数是方程 \((3)\) 的通解。所以 \((4)\) 式叫做微分方程 \((3)\) 的隐式通解（当 \(f(x) \neq 0\) 时，\((4)\) 式所确定的隐函数 \(x = \Psi(y)\) 也可认为是方程 \((3)\) 的解）。