高等数学 5.5 反常积分的审敛法 Γ函数

目录

一、无穷限反常积分的审敛法

定理1 设函数 f(x) 在区间 [a,+∞) 上连续，且 f(x)⩾0.若函数

F(x)=∫axf(t)dt

在 [a,+∞) 上有上界，则反常积分 ∫a+∞f(x)dx 收敛。

定理2（比较审敛原理） 设函数 f(x)，g(x) 在区间 [a,+∞) 上连续。如果 0⩽f(x)⩽g(x)(a⩽x<+∞) 并且 ∫a+∞g(x)dx 收敛，那么 ∫a+∞f(x)dx 也收敛；如果 0⩽g(x)⩽f(x)(a⩽x<+∞) ，并且 ∫a+∞g(x)dx 发散，那么 ∫a+∞f(x)dx 也发散。

定理3（比较审敛法1） 设函数 f(x) 在区间 [a,+∞)(a>0) 上连续，且 f(x)⩾0 .如果存在常数 M>0 及 p>1 ，使得 f(x)⩽Mxp(a⩽x<+∞) ，那么反常积分 ∫a+∞f(x)dx 收敛；如果存在常数 N>0 使得 f(x)⩾Nx(a⩽x<+∞)，那么反常积分 ∫a+∞f(x)dx 发散。

定理4（极限审敛法1） 设函数 f(x) 在区间 [a,+∞) 上连续，且 f(x)⩾0 。如果存在常数 p>1 ，使得 limx→+∞xpf(x)=c<+∞，那么反常积分 ∫a+∞f(x)dx 收敛；如果 limx→+∞xf(x)=d>0 （或 limx→+∞xf(x)=+∞），那么反常积分 ∫a+∞f(x)dx 发散。

定理5 设函数 f(x) 在区间 [a,+∞) 上连续。如果反常积分

∫a+∞|f(x)|dx

收敛，那么反常积分

∫a+∞f(x)dx

也收敛。

通常称满足定理5条件的反常积分 ∫a+∞f(x)dx 绝对收敛。定理5可简单的表述为：绝对收敛的反常积分 ∫a+∞f(x)dx 必定收敛。

二、无界函数的反常积分审敛法

定理6（比较审敛法2） 设函数 f(x) 在区间 (a,b] 上连续，且 f(x)⩾0 ，x=a 为 f(x) 的瑕点。如果存在常数 M>0 及 q<1，使得

f(x)⩽M(x−a)q(a<x⩽b),

那么反常积分 ∫abf(x)dx 收敛；如果存在常数 N>0 ，使得

f(x)⩾Nx−a(a<x⩽b),

那么反常积分 ∫abf(x)dx 发散。

定理7（极限审敛法2） 设函数 f(x) 在区间 (a,b] 上连续，且 f(x)⩾0 ，x=a 为 f(x) 的瑕点。如果存在常数 0<q<1，使得

limx→a+(x−a)qf(x)

存在，那么反常积分 ∫abf(x)dx 收敛；如果

limx→a+(x−a)f(x)=d>0(或limx→a+(x−a)f(x)=+∞),

那么反常积分 ∫abf(x)dx 发散。

三、Γ 函数

Γ 函数的定义如下：

Γ(s)=∫0+∞e−xxs−1dx(s>0)

Γ函数 的几个重要性质：

  1. 递推公式 Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0) ；
    一般地，对任何正整数 n ，有

Γ(n+1)=n!

所以我们可以把 Γ 函数看成是阶乘的推广。

  1. 当 s→0+ 时，Γ(s)→+∞
  2. Γ(s)Γ(1−s)=πsin⁡πs(0<s<1) .
    这个公式称为余元公式。
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