一、无穷限的反常积分

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上连续，任取 $t>a$ ，作定积分 ${\displaystyle {\int }_a^{t}f(x)\mathrm{d}x}$ ，再求极限

这个对变上限定积分的算式 $(1)$ 称为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上的反常积分，记为 ${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ ，即

根据算式 $(1)$ 的结果是否存在，可引入反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 收敛与发散的定义：

定义1 （1）设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上连续，如果极限 $(1)$ 存在，那么称反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限 $(1)$ 不存在，那么就称反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 发散。

类似的设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\mathrm{\infty },b]$上连续，任取 $t<b$ ，算式

称为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $(-\mathrm{\infty },b]$ 上的反常积分，记作 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ ，即

于是有（2）设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\mathrm{\infty },b]$ 上连续，如果极限 $(2)$ 存在，那么称反常积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限 $(2)$ 不存在，那么就称反常积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 发散。

设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上连续，反常积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(x)\mathrm{d}x}$ 与反常积分 ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 之和称为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上的反常积分，记作 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ ，即

于是有（3）设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上连续，如果反常积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(x)\mathrm{d}x}$ 与反常积分 ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 均收敛，那么称反常积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 收敛，并称反常积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(x)\mathrm{d}x}$ 的值与反常积分 ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 的值之和称为反常积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 的值，否则就称反常积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 发散。

上述反常积分统称为无穷限的反常积分。

由上述定义及牛顿—莱布尼兹公式，可得如下结果：

设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上的一个原函数，若 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x)$ 存在，则反常积分

若 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x)$ 不存在，则称反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 发散。
若记 $F(+\mathrm{\infty })=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x),{F(x)|}_a^{+\mathrm{\infty }}=F(+\mathrm{\infty })-F(a)$ ，则当 $F(+\mathrm{\infty })$ 存在时，

当 $F(+\mathrm{\infty })$ 不存在时，反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 发散。

类似的，若在 $(-\mathrm{\infty },b]$ 上 $F^{\prime }(x)=f(x)$ ，则当 $F(-\mathrm{\infty })$ 存在时，

当 $F(-\mathrm{\infty })$ 不存在时，反常积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 发散。

若在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内 $F^{\prime }(x)=f(x)$ ，则当 $F(-\mathrm{\infty })$ 与 $F(+\mathrm{\infty })$ 都存在时，

当 $F(-\mathrm{\infty })$ 与 $F(+\mathrm{\infty })$ 有一个不存在时，反常积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$ 发散。

二、无界函数的反常积分

如果函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的任一邻域内都无界，那点 $a$ 称为函数 $f(x)$ 的瑕点（也称为无界间断点）。无界函数的反常积分又称为瑕积分。

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上连续，点 $a$ 为 $f(x)$ 的瑕点。任取 $t>a$ ，作定积分 ${\displaystyle {\int }_t^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ ，再求极限

这个对变下限的定积分求极限的算式 $(4)$ 称为函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上的反常积分，仍然记为 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ ，即

根据算式 $(4)$ 的结果是否存在，可引入反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 收敛与发散的定义：

定义2 （1）函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上连续，点 $a$ 为 $f(x)$ 的瑕点，如果极限 $(4)$ 存在，那么称反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限 $(4)$ 不存在，那么称反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 发散。

类似地，设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b)$ 上连续，点 $b$ 为 $f(x)$ 的瑕点。任取 $t<b$ ，算式

称为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b)$ 上的反常积分，仍然记为 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ ，即

于是有（2）设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b)$ 上连续，点 $b$ 为 $f(x)$ 的瑕点，如果极限 $(5)$ 存在，那么称反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限 $(5)$ 不存在，那么就称反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 发散。

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,c)$ 及区间 $(c,b]$ 上连续，$c$ 为 $f(x)$ 的瑕点。反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x}$ 与反常积分 ${\displaystyle {\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 之和称为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的反常积分，仍然记作 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ ，即

（3）设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,c)$ 及区间 $(c,b]$ 上连续，点 $c$ 为 $f(x)$ 的瑕点。如果反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x}$ 与反常积分 ${\displaystyle {\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 均收敛，那么称反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 收敛，并称反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x}$ 的值与反常积分 ${\displaystyle {\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 的值之和为反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 的值；否则，就称反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 发散。

计算无界函数的反常积分，也可借助牛顿—莱布尼茨公式。
设 $x=a$ 为 $f(x)$ 的瑕点，在 $(a,b]$ 上 $F^{\prime }(x)=f(x)$ ，如果极限 $\underset{x\to a^{+}}{lim}F(x)$ 存在，那么反常积分

如果 $\underset{x\to a^{+}}{lim}F(x)$ 不存在，那么反常积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 发散。

我们仍用记号 ${F(x)|}_a^b$ 来表示 $F(b)-F(a^{+})$ ，从而形式上仍有

对于 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上连续， $b$ 为瑕点的反常积分也有类似的计算公式。