高等数学 5.4反常积分

目录

• 一、无穷限的反常积分
• 二、无界函数的反常积分

一、无穷限的反常积分

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, + \infty)\) 上连续，任取 \(t > a\) ，作定积分 \(\displaystyle \int_a^t f(x) \mathrm{d}x\) ，再求极限

\[\lim_{t \to + \infty} \int_a^t f(x) \mathrm{d}x, \tag{1} \]

这个对变上限定积分的算式 \((1)\) 称为函数 \(f(x)\) 在无穷区间 \([a, + \infty)\) 上的反常积分，记为 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) ，即

\[\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{t \to + \infty} \int_a^t f(x) \mathrm{d}x, \tag{1'} \]

根据算式 \((1)\) 的结果是否存在，可引入反常积分 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 收敛与发散的定义：

定义1 （1）设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, + \infty)\) 上连续，如果极限 \((1)\) 存在，那么称反常积分 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限 \((1)\) 不存在，那么就称反常积分 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 发散。

类似的设函数 \(f(x)\) 在区间 \((-\infty, b]\)上连续，任取 \(t < b\) ，算式

\[\lim_{t \to - \infty} \int_t^bf(x) \mathrm{d}x, \tag{2} \]

称为函数 \(f(x)\) 在无穷区间 \((-\infty, b]\) 上的反常积分，记作 \(\displaystyle \int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d}x\) ，即

\[\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{t \to - \infty} \int_t^bf(x) \mathrm{d}x, \tag{2'} \]

于是有（2）设函数 \(f(x)\) 在区间 \((-\infty, b]\) 上连续，如果极限 \((2)\) 存在，那么称反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d}x\) 收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限 \((2)\) 不存在，那么就称反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d}x\) 发散。

设函数 \(f(x)\) 在区间 \((-\infty, +\infty)\) 上连续，反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d}x\) 与反常积分 \(\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 之和称为函数 \(f(x)\) 在无穷区间 \((-\infty, +\infty)\) 上的反常积分，记作 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) ，即

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d}x + \int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x \tag{3} \]

于是有（3）设函数 \(f(x)\) 在区间 \((-\infty, +\infty)\) 上连续，如果反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d}x\) 与反常积分 \(\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 均收敛，那么称反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 收敛，并称反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d}x\) 的值与反常积分 \(\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 的值之和称为反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 的值，否则就称反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 发散。

上述反常积分统称为无穷限的反常积分。

由上述定义及牛顿—莱布尼兹公式，可得如下结果：

设 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上的一个原函数，若 \(\lim\limits_{x \to +\infty} F(x)\) 存在，则反常积分

\[\int_a^{+\infty} = \lim_{x \to +\infty} F(x) - F(a) ; \]

若 \(\lim\limits_{x \to +\infty} F(x)\) 不存在，则称反常积分 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 发散。
若记 \(F(+\infty) = \lim\limits_{x \to +\infty} F(x), \left . F(x) \right|_a^{+\infty} = F(+\infty) - F(a)\) ，则当 \(F(+\infty)\) 存在时，

\[\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \left . F(x) \right|_a^{+\infty} ; \]

当 \(F(+\infty)\) 不存在时，反常积分 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 发散。

类似的，若在 \((-\infty, b]\) 上 \(F'(x) = f(x)\) ，则当 \(F(-\infty)\) 存在时，

\[\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d}x = \left . F(x) \right|_{-\infty}^b ; \]

当 \(F(-\infty)\) 不存在时，反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d}x\) 发散。

若在 \((-\infty, +\infty)\) 内 \(F'(x) = f(x)\) ，则当 \(F(-\infty)\) 与 \(F(+\infty)\) 都存在时，

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \left . F(x) \right|_{-\infty}^{+\infty} \]

当 \(F(-\infty)\) 与 \(F(+\infty)\) 有一个不存在时，反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 发散。

二、无界函数的反常积分

如果函数 \(f(x)\) 在点 \(a\) 的任一邻域内都无界，那点 \(a\) 称为函数 \(f(x)\) 的瑕点（也称为无界间断点）。无界函数的反常积分又称为瑕积分。

设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b]\) 上连续，点 \(a\) 为 \(f(x)\) 的瑕点。任取 \(t > a\) ，作定积分 \(\displaystyle \int_t^b f(x) \mathrm{d}x\) ，再求极限

\[\lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x) \mathrm{d}x \tag{4} \]

这个对变下限的定积分求极限的算式 \((4)\) 称为函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b]\) 上的反常积分，仍然记为 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) ，即

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x) \mathrm{d}x \tag{4'} \]

根据算式 \((4)\) 的结果是否存在，可引入反常积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 收敛与发散的定义：

定义2 （1）函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b]\) 上连续，点 \(a\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，如果极限 \((4)\) 存在，那么称反常积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限 \((4)\) 不存在，那么称反常积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 发散。

类似地，设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b)\) 上连续，点 \(b\) 为 \(f(x)\) 的瑕点。任取 \(t < b\) ，算式

\[\lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) \mathrm{d}x \tag{5} \]

称为函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b)\) 上的反常积分，仍然记为 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) ，即

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) \mathrm{d}x \tag{5'} \]

于是有（2）设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b)\) 上连续，点 \(b\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，如果极限 \((5)\) 存在，那么称反常积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限 \((5)\) 不存在，那么就称反常积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 发散。

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, c)\) 及区间 \((c, b]\) 上连续，\(c\) 为 \(f(x)\) 的瑕点。反常积分 \(\displaystyle \int_a^c f(x) \mathrm{d}x\) 与反常积分 \(\displaystyle \int_c^b f(x) \mathrm{d}x\) 之和称为函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的反常积分，仍然记作 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) ，即

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x \tag{6} \]

（3）设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, c)\) 及区间 \((c, b]\) 上连续，点 \(c\) 为 \(f(x)\) 的瑕点。如果反常积分 \(\displaystyle \int_a^c f(x) \mathrm{d}x\) 与反常积分 \(\displaystyle \int_c^b f(x) \mathrm{d}x\) 均收敛，那么称反常积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 收敛，并称反常积分 \(\displaystyle \int_a^c f(x) \mathrm{d}x\) 的值与反常积分 \(\displaystyle \int_c^b f(x) \mathrm{d}x\) 的值之和为反常积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 的值；否则，就称反常积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 发散。

计算无界函数的反常积分，也可借助牛顿—莱布尼茨公式。
设 \(x = a\) 为 \(f(x)\) 的瑕点，在 \((a, b]\) 上 \(F'(x) = f(x)\) ，如果极限 \(\lim\limits_{x \to a^+} F(x)\) 存在，那么反常积分

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - \lim_{x \to a^+} F(x) = F(b) - F(a^+) ; \]

如果 \(\lim\limits_{x \to a^+} F(x)\) 不存在，那么反常积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 发散。

我们仍用记号 \(\left . F(x) \right|_a^b\) 来表示 \(F(b) - F(a^+)\) ，从而形式上仍有

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \left . F(x) \right|_a^b . \]

对于 \(f(x)\) 在 \([a, b)\) 上连续， \(b\) 为瑕点的反常积分也有类似的计算公式。