高等数学 5.3 定积分的换元法和分部积分法

一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法

一、定积分的换元法

定理设函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $x = φ (t)$ 满足条件：
（1） $φ (α) = a, φ (β) = b$ ；
（2） $φ (t)$ 在 $[α, β]$ （或 $[β, α]$ ）上具有连续导数，且其值域 $R_{φ} = [a, b]$ ，则有

$\begin{matrix} (1) & \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f [φ (t)] φ^{'} (t) d t . \end{matrix}$

公式 $(1)$ 叫做定积分的换元公式。

在定积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 中的 $d x$ ，本来是整个定积分记号中不可分割的一部分，但由上述定理可知，在一定条件下，它确实可以作为微分记号来对待。这就是说，应用换元公式时，如果把 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 中的 $x$ 换成 $φ (t)$ ，那么 $d x$ 就换成 $φ^{'} (t) d t$ ，这正好是 $x = φ (t)$ 的微分 $d x$ 。

应用换元公式时有两点值得注意：
（1）用 $x = φ (t)$ 把原来变量 $x$ 代换成新变量 $t$ 时，积分上下限也要换成相应于新变量 $t$ 的积分上下限；
（2）求出 $f [φ (t)] φ^{'} (t)$ 的一个原函数 $Φ (t)$ 后，不必像计算不定积分那样再要把 $Φ (t)$ 变换成原来变量 $x$ 的函数，而只要把新变量 $t$ 的上、下限分别代入 $Φ (t)$ 中然后相减就行了。

几个重要的结论：
（1）若 $f (x)$ 在 $[- a, a]$ 上连续且为偶函数，则

\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x .

（2）若 $f (x)$ 在 $[- a, a]$ 上连续且为奇函数，则

\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0 .

（3）设 $f (x)$ 是连续的周期函数，周期为 $T$ ，那么
（i） $\int_{a}^{a + T} f (x) d x = \int_{0}^{T} f (x) d x$ ,
（ii） $\int_{a}^{a + n T} f (x) d x = n \int_{0}^{T} f (x) d x (n \in N)$ .