高等数学 5.3 定积分的换元法和分部积分法

目录

• 一、定积分的换元法
• 二、定积分的分部积分法

一、定积分的换元法

定理 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，函数 \(x = \varphi(t)\) 满足条件：
（1）\(\varphi (\alpha) = a, \varphi (\beta) = b\) ；
（2）\(\varphi (t)\) 在 \([\alpha, \beta]\) （或 \([\beta, \alpha]\)） 上具有连续导数，且其值域 \(R_{\varphi} = [a, b]\) ，则有

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi (t)] \varphi' (t) \mathrm{d}t . \tag{1} \]

公式 \((1)\) 叫做定积分的换元公式。

在定积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 中的 \(\mathrm{d}x\) ，本来是整个定积分记号中不可分割的一部分，但由上述定理可知，在一定条件下，它确实可以作为微分记号来对待。这就是说，应用换元公式时，如果把 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 中的 \(x\) 换成 \(\varphi (t)\) ，那么 \(\mathrm{d}x\) 就换成 \(\varphi' (t) \mathrm{d}t\) ，这正好是 \(x = \varphi (t)\) 的微分 \(\mathrm{d}x\) 。

应用换元公式时有两点值得注意：
（1）用 \(x = \varphi (t)\) 把原来变量 \(x\) 代换成新变量 \(t\) 时，积分上下限也要换成相应于新变量 \(t\) 的积分上下限；
（2）求出 \(f[\varphi (t)] \varphi' (t)\) 的一个原函数 \(\Phi (t)\) 后，不必像计算不定积分那样再要把 \(\Phi (t)\) 变换成原来变量 \(x\) 的函数，而只要把新变量 \(t\) 的上、下限分别代入 \(\Phi (t)\) 中然后相减就行了。

几个重要的结论：
（1）若 \(f(x)\) 在 \([-a, a]\) 上连续且为偶函数，则

\[\int_{-a}^a f(x) \mathrm{d}x = 2 \int_0^a f(x) \mathrm{d}x . \]

（2）若 \(f(x)\) 在 \([-a, a]\) 上连续且为奇函数，则

\[\int_{-a}^a f(x) \mathrm{d}x = 0 . \]

（3）设 \(f(x)\) 是连续的周期函数，周期为 \(T\) ，那么
（i）\(\displaystyle \int_a^{a + T} f(x) \mathrm{d}x = \int_0^T f(x) \mathrm{d}x\) ,
（ii）\(\displaystyle \int_a^{a + nT} f(x) \mathrm{d}x = n \int_0^T f(x) \mathrm{d}x (n \in \mathbb{N})\) .

二、定积分的分部积分法

依据不定积分的分部积分法，若 \(u(x), v(x)\) 在 \([a, b]\) 上具有连续导数，则

\[\begin{align*} \int_a^b u(x) v'(x) \mathrm{d}x &= \left[ \int u(x) v'(x) \mathrm{d}x \right]_a^b \\ &= \left[ u(x) v(x) \int u'(x) v(x) \mathrm{d}x \right]_a^b \\ &= \left[ u(x) v(x) \right]_a^b - \int_a^b v(x) u'(x) \mathrm{d}x \tag{2} \end{align*} \]

简记作

\[\int_a^b uv' \mathrm{d}x = [uv]_a^b - \int_a^b vu' \mathrm{d}x , \]

或

\[\int_a^b u \mathrm{d}v = [uv]_a^b - \int_a^b v \mathrm{d}u \]

公式 \((2)\) 叫做定积分的分部积分公式。公式表明原函数已经积出的部分可以先用上下限代入。

一个定积分公式

\[\begin{align*} I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \mathrm{d}x \\ \\ &= \begin{cases} \cfrac{n - 1}{n} \cdot \cfrac{n - 3}{n - 2} \cdots \cfrac{3}{4} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{\pi}{2} \quad &n 为正偶数，\\ \\ \cfrac{n - 1}{n} \cfrac{n - 3}{n - 2} \cdots \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{2}{3} \quad &n为大于1的正奇数。 \end{cases} \end{align*} \]