高等数学 5.2 微积分基本公式

目录

一、积分上限的函数及其导数

定理1 如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，那么积分上限的函数

Φ(x)=∫axf(t)dt

在 [a,b] 上可导，并且它的导数

(1)Φ′(x)=ddx∫axf(t)dt=f(x)(a⩽x⩽b)

这个定理指出了一个重要的结论：连续函数 f(x) 取变上限 x 的定积分然后求导，其结果还原为 f(x) 本身。

公式 (1) 可扩展为下面的公式：

ddx∫ψ(x)φ(x)f(t)dt=f[φ(x)]φ′(x)−f[ψ(x)]ψ′(x)

定理2 如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，那么函数

(2)Φ(x)=∫axf(t)dt

就是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数。

这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。

二、牛顿-莱布尼茨公式

定理3（微积分基本定理） 如果函数 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的一个原函数，那么

(3)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)

公式 (3) 叫做牛顿（Newton）-莱布尼茨（Leibniz）公式，也叫做微积分基本公式。
它表明：一个连续函数在区间 [a,b] 上的定积分等于它的任一个原函数在区间 [a,b] 上的增量。

积分中值定理 若函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则在开区间内至少存在一点 ξ，使

∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)(a<ξ<b).

例题 设 f(x) 在 [0,+∞) 内连续且 f(x)>0 。证明函数

F(x)=∫0xtf(t)dt∫0xf(t)dt

在 (0,+∞) 内为单调增加函数。

证明：由公式 (1) 得，

ddx∫0xtf(t)dt=xf(x),ddx∫0xf(t)dt=f(x).

故

F′(x)=xf(x)∫0xf(t)dt−f(x)∫0xtf(t)dt[∫0xf(t)dt]2=f(x)∫0x(x−t)f(t)dt[∫0xf(t)dt]2

按假设，当 0<t<x 时 f(t)>0,(x−t)f(t)>0，由积分中值定理可知

∫0xf(t)dt>0,∫0x(x−t)f(t)dt>0,

所以 F′(x)>0(x>0) ，从而 F(x) 在 (0,+∞) 内为单调增加函数。

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