高等数学 5.1 定积分的概念与性质

目录

• 一、定积分的定义
  • 1.定义
  • 2.定积分的几何意义
• 二、定积分的近似计算
  • 1.矩形法
  • 2.梯形法
  • 3.抛物线法
• 三、定积分的性质

一、定积分的定义

1.定义

定义 设函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上有界，在 \([a, b]\) 中任意插入若干个分点

\[a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n - 1} < x_n = b \]

把区间 \([a, b]\) 分成 \(n\) 个小区间

\[[x_0, x_1], [x_1, x_2], \cdots , [x_{n - 1}, x_n] , \]

各个小区间的长度依次为

\[\Delta x_1 = x_1 - x_0, \Delta x_2 = x_2 - x_1, \cdots , \Delta x_n = x_n - x_{n - 1} , \]

在每个小区间 \([x_{i - 1}, x_i]\) 上任取一点 \(\xi_i (x_{i - 1} \leqslant \xi_i \leqslant x_i)\) ，做函数值 \(f(\xi_i)\) 与小区间长度 \(\Delta x_i\) 的乘积 \(f(\xi_i) \Delta x_i (i = 1, 2, \cdots, n)\) 并作出和

\[S = \sum\limits_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \tag{1} \]

记 \(\lambda = \max{\{\Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n \}}\) ，如果当 \(\lambda \to 0\) 时，这和的极限总存在，且与闭区间 \([a, b]\) 的分法及点 \(\xi_i\) 的取法无关，把么称这个极限 \(I\) 为函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的定积分（简称积分），记作 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) ，即

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = I = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \tag{2} \]

其中 \(f(x)\) 叫做被积函数，\(f(x) \mathrm{d}x\) 叫做被积表达式， \(x\) 叫做积分变量，\(a\) 叫做积分下限，\(b\) 叫做积分上限，\([a, b]\) 叫做积分区间。

注意：当和式 \(\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i\) 的极限存在时，其极限 \(I\) 仅与被积函数 \(f(x)\) 及积分区间 \([a, b]\) 有关。如果既不改变被积函数 \(f\) ，也不改变积分区间 \([a, b]\) ，而只把积分变量 \(x\) 改写成其他字母，例如 \(t\) 或 \(u\) ，那么，这时和的极限 \(I\) 不变，也就是定积分的值不变，即

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^b f(t) \mathrm{d}t = \int_a^b f(u) \mathrm{d}u . \]

这就是说，定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。

和式 \(\displaystyle \sum_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i\) 通常称为 \(f(x)\) 的积分和。如果 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的定积分存在，那么就说 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积。

对于定积分，有这样一个重要的问题：函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上满足怎样的条件，\(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上一定可积？下面给出两个充分条件：

定理1 设 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积。

定理2 设 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上有界，且只有有限个间断点，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积。

2.定积分的几何意义

在 \([a, b]\) 上 \(f(x) \geqslant 0\) 时，我们已经知道，定积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 表示由曲线 \(y = f(x)\)，两条直线 \(x = a, x = b\) 与 \(x\) 轴所围成的曲边梯形面积；

在 \([a, b]\) 上 \(f(x) \leqslant 0\) 时，由曲线 \(y = f(x)\)，两条直线 \(x = a, x = b\) 与 \(x\) 轴所围成的曲边梯形位于 \(x\) 轴下方，定积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 表示上述曲边梯形面积的负值；

在 \([a, b]\) 上 \(f(x)\) 既取得正值又取得负值时，函数 \(f(x)\) 的图形某些部分在 \(x\) 轴上方，而其他部分在 \(x\) 轴下方，此时定积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 表示 \(x\) 轴上方图形面积减去 \(x\) 轴下方图形面积所得之差。

二、定积分的近似计算

1.矩形法

设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，这时定积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 存在。采取把区间 \([a, b]\) 等分的分法，即用分点 \(a = x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n = b\) 将 \([a, b]\) 分成 \(n\) 个长度相等的小区间，每个小区间长为

\[\Delta x = \cfrac{b - a}{n} , \]

在小区间 \([x_{i - 1}, x_i]\) 上，取 \(\xi_i = x_{i - 1}\)，应有

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} \cfrac{b - a}{n} \sum_{i = 1}^n f(x_{i - 1}) , \]

从而对于任意确定的正整数 \(n\) ，有

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \approx \cfrac{b - a}{n} \sum_{i = 1}^n f(x_{i - 1}) . \]

记 \(f(x_i) = y_i (i = 0, 1, 2, \cdots, n)\) 上式可记作

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \approx \cfrac{b - a}{n} (y_0 + y_1 + \cdots + y_{n - 1}) . \tag{3} \]

如果取 \(\xi_i = x_i\) 则可得近似公式

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \approx \cfrac{b - a}{n} (y_1 + y_2 + \cdots + y_n) . \tag{4} \]

公式 \((3)\) 与 \((4)\) 称为矩形法公式。

2.梯形法

和矩形法一样，将区间 \([a, b]\) n等分。设 \(f(x_i) = y_i\)，曲线 \(y = f(x)\) 上的点 \((x_i, y_i)\) 记作 \(M_i (i = 0, 1, 2, \cdots, n)\) 。

梯形法的原理是：将曲线 \(y = f(x)\) 上的小弧段 \(\overset{\LARGE{\frown}}{M_{i - 1}M_i}\) 用直线段 \(\overline{M_{i - 1} M_i}\) 代替，也就是把窄条曲边梯形用窄条梯形代替，由此可得到定积分的近似值为

\[\begin{align*} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x & \approx \cfrac{b - a}{n} \left( \cfrac{y_0 + y_1}{2} + \cfrac{y_1 + y_2}{2} + \cdots \cfrac{y_{n -1} + y_n}{2} \right) \\ &= \cfrac{b - a}{n} \left( \cfrac{y_0 + y_n}{2} + y_1 + y_2 + \cdots + y_{n - 1} \right) \tag{5} \end{align*} \]

显然，梯形法公式 \((5)\) 所得的近似值就是矩形法公式 \((3)\) 和 \((4)\) 所得两个近似值的平均值。

3.抛物线法

抛物线法的原理是：将曲线 \(y = f(x)\) 上的两个小弧段 \(\overset{\LARGE{\frown}}{M_{i - 1} M_i}\) 和 \(\overset{\LARGE{\frown}}{M_i M_{i + 1}}\) 合起来，用过 \(M_{i - 1}, M_i, M_{i + 1}\) 三点的抛物线 \(y = px^2 + qx + r (p \neq 0)\) 代替。经推导可得，以此抛物线弧段为曲边、以 \([x_{i - 1}, x_{i + 1}]\) 为底的曲边梯形面积为

\[\cfrac{1}{6} (y_{i - 1} + 4y_i + y_{i + 1}) \cdot 2\Delta x = \cfrac{b - a}{3n} (y_{i - 1} + 4y_i + y_{i + 1}) . \]

取 \(n\) 为偶数，得到定积分的近似值为

\[\begin{align*} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x & \approx \cfrac{b - a}{3n} [(y_0 + 4y_1 + y_2) + (y_2 + 4y_3 + y_4) + \cdots + (y_{n - 2} + 4y_{n - 1} + y_n)] \\ &= \cfrac{b - a}{3n} [y_0 + y_n + 4(y_1 + y_3 + \cdots + y_{n - 1}) + 2(y_2 + y_4 + \cdots + y_{n - 2})] . \tag{6} \end{align*} \]

三、定积分的性质

补充规定：
（1）当 \(b = a\) 时，\(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = 0\) ；
（2）当 \(a > b\) 时，\(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = - \displaystyle \int_b^a f(x) \mathrm{d}x\) .

性质1 设 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 均为常数，则

\[\int_a^b [\alpha f(x) + \beta \mathrm{g}(x)] \mathrm{d}x = \alpha \int_a^b f(x) \mathrm{d}x + \beta \int_a^b \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x . \]

性质2 设 \(a < c < b\) 则

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x . \]

性质3 如果在区间 \([a, b]\) 上 \(f(x) \equiv 1\)，那么

\[\int_a^b 1 \mathrm{d}x = \int_a^b \mathrm{d}x = b - a . \]

性质4 如果在区间 \([a, b]\) 上 \(f(x) \geqslant 0\)，那么

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \geqslant 0 \quad (a < b) . \]

推论1 如果在区间 \([a, b]\) 上 \(f(x) \leqslant \mathrm{g}(x)\)，那么

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \leqslant \int_a^b \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x \quad (a < b) . \]

推论2 \(\displaystyle \left| \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \right| \leqslant \int_a^b \left| f(x) \right| \mathrm{d}x \quad (a < b)\) .

性质5 设 \(M\) 及 \(m\) 分别是函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的最大值及最小值，则

\[m(b - a) \leqslant \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \leqslant M(b - a) \quad (a < b) . \]

性质6（积分中值定理） 如果函数 \(f(x)\) 在积分区间 \([a, b]\) 上连续，那么在 \([a, b]\) 上至少存在一个点 \(\xi\) ，使下式成立：

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = f(\xi) (b - a) \quad (a \leqslant \xi \leqslant b) . \]

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