一、定积分的定义

1.定义

定义 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，在 $[a,b]$ 中任意插入若干个分点

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$$

把区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间

$$[x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots ,[x_{n-1},x_n],$$

各个小区间的长度依次为

$$\mathrm{\Delta }{x}_1=x_1-x_0,\mathrm{\Delta }{x}_2=x_2-x_1,\cdots ,\mathrm{\Delta }{x}_n=x_n-x_{n-1},$$

在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 ${\xi }_i(x_{i-1}⩽{\xi }_i⩽x_i)$ ，做函数值 $f({\xi }_i)$ 与小区间长度 $\mathrm{\Delta }{x}_i$ 的乘积 $f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 并作出和

$$\begin{array}{}\text{(1)}& S=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\end{array}$$

记 $\lambda =max\{\mathrm{\Delta }{x}_1,\mathrm{\Delta }{x}_2,\cdots ,\mathrm{\Delta }{x}_n\}$ ，如果当 $\lambda \to 0$ 时，这和的极限总存在，且与闭区间 $[a,b]$ 的分法及点 ${\xi }_i$ 的取法无关，把么称这个极限 $I$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分（简称积分），记作 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ ，即

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=I=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\end{array}$$

其中 $f(x)$ 叫做被积函数，$f(x)\mathrm{d}x$ 叫做被积表达式， $x$ 叫做积分变量，$a$ 叫做积分下限，$b$ 叫做积分上限，$[a,b]$ 叫做积分区间。

注意：当和式 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i}$ 的极限存在时，其极限 $I$ 仅与被积函数 $f(x)$ 及积分区间 $[a,b]$ 有关。如果既不改变被积函数 $f$ ，也不改变积分区间 $[a,b]$ ，而只把积分变量 $x$ 改写成其他字母，例如 $t$ 或 $u$ ，那么，这时和的极限 $I$ 不变，也就是定积分的值不变，即

这就是说，定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。

和式 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i}$ 通常称为 $f(x)$ 的积分和。如果 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分存在，那么就说 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

对于定积分，有这样一个重要的问题：函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上满足怎样的条件，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定可积？下面给出两个充分条件：

定理1 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

定理2 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

2.定积分的几何意义

在 $[a,b]$ 上 $f(x)⩾0$ 时，我们已经知道，定积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 表示由曲线 $y=f(x)$，两条直线 $x=a,x=b$ 与 $x$ 轴所围成的曲边梯形面积；

在 $[a,b]$ 上 $f(x)⩽0$ 时，由曲线 $y=f(x)$，两条直线 $x=a,x=b$ 与 $x$ 轴所围成的曲边梯形位于 $x$ 轴下方，定积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 表示上述曲边梯形面积的负值；

在 $[a,b]$ 上 $f(x)$ 既取得正值又取得负值时，函数 $f(x)$ 的图形某些部分在 $x$ 轴上方，而其他部分在 $x$ 轴下方，此时定积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 表示 $x$ 轴上方图形面积减去 $x$ 轴下方图形面积所得之差。

二、定积分的近似计算

1.矩形法

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，这时定积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 存在。采取把区间 $[a,b]$ 等分的分法，即用分点 $a=x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_n=b$ 将 $[a,b]$ 分成 $n$ 个长度相等的小区间，每个小区间长为

在小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上，取 ${\xi }_i=x_{i-1}$，应有

从而对于任意确定的正整数 $n$ ，有

记 $f(x_i)=y_i(i=0,1,2,\cdots ,n)$ 上式可记作

如果取 ${\xi }_i=x_i$ 则可得近似公式

公式 $(3)$ 与 $(4)$ 称为矩形法公式。

2.梯形法

和矩形法一样，将区间 $[a,b]$ n等分。设 $f(x_i)=y_i$，曲线 $y=f(x)$ 上的点 $(x_i,y_i)$ 记作 $M_i(i=0,1,2,\cdots ,n)$ 。

梯形法的原理是：将曲线 $y=f(x)$ 上的小弧段 $\stackrel{⌢}{M_{i-1}{M}_i}$ 用直线段 $\overline{M_{i-1}{M}_i}$ 代替，也就是把窄条曲边梯形用窄条梯形代替，由此可得到定积分的近似值为

显然，梯形法公式 $(5)$ 所得的近似值就是矩形法公式 $(3)$ 和 $(4)$ 所得两个近似值的平均值。

3.抛物线法

抛物线法的原理是：将曲线 $y=f(x)$ 上的两个小弧段 $\stackrel{⌢}{M_{i-1}{M}_i}$ 和 $\stackrel{⌢}{M_i{M}_{i+1}}$ 合起来，用过 $M_{i-1},M_i,M_{i+1}$ 三点的抛物线 $y=p{x}^2+qx+r(p\ne 0)$ 代替。经推导可得，以此抛物线弧段为曲边、以 $[x_{i-1},x_{i+1}]$ 为底的曲边梯形面积为

取 $n$ 为偶数，得到定积分的近似值为

三、定积分的性质

补充规定：
（1）当 $b=a$ 时，${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=0}$ ；
（2）当 $a>b$ 时，${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-{\displaystyle {\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x}}$ .

性质1 设 $\alpha$ 与 $\beta$ 均为常数，则

性质2 设 $a<c<b$ 则

性质3 如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)\equiv 1$，那么

性质4 如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)⩾0$，那么

推论1 如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)⩽\mathrm{g}(x)$，那么

推论2 ${\displaystyle |{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x|⩽{\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x(a<b)}$ .

性质5 设 $M$ 及 $m$ 分别是函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值及最小值，则

性质6（积分中值定理） 如果函数 $f(x)$ 在积分区间 $[a,b]$ 上连续，那么在 $[a,b]$ 上至少存在一个点 $\xi$ ，使下式成立：

原文链接：