高等数学 4.2 换元积分法（二）第二类换元法

第二类换元法是：适当选择变量代换 $x = ψ (t)$ ，将积分 $\int f (x) d x$ 化为积分 $\int f [ψ (t)] ψ^{'} (t) d t$ .这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为

\int f (x) d x = \int f [ψ (t)] ψ^{'} (t) d t

这公式成立是需要一定条件的。首先，等式右边的不定积分要存在，即 $f [ψ (t)] ψ^{'} (t)$ 有原函数；其次， $\int f [ψ (t)] ψ^{'} (t) d t$ 求出后必须用 $x = ψ (t)$ 的反函数 $t = ψ^{- 1} (x)$ 代回去，为了保证这反函数存在且可导，我们假定直接函数 $x = ψ (t)$ 在 $t$ 的某一个区间上式单调的、可导的、并且 $ψ^{'} (t) \neq 0$ 。

定理设 $x = ψ (t)$ 是单调的可导函数，并且 $ψ^{'} (t) \neq 0$ .又设 $f [ψ (t)] ψ^{'} (t)$ 具有原函数，则有换元公式

$\begin{matrix} (1) & \int f (x) d x = {[\int f [ψ (t)] ψ^{'} (t) d t]}_{t = ψ^{- 1} (x)} \end{matrix}$
其中 $ψ^{- 1} (x)$ 是 $x = ψ (t)$ 的反函数。

证明：设 $f [ψ (t)] ψ^{'} (t)$ 的原函数为 $Φ (t)$ ，记 $Φ [ψ^{- 1} (x)] = F (x)$ ，利用复合函数及反函数的求导法则，得到

F^{'} (x) = \frac{d Φ}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = f [ψ (t)] ψ^{'} (t) \cdot \frac{1}{ψ^{'} (t)} = f [ψ (t)] = f (x)

即 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的原函数。所以有

\int f (x) d x = F (x) + C = Φ [ψ^{- 1} (x)] + C = {[\int f [ψ (t)] ψ^{'} t d t]}_{t = ψ^{- 1} (x)} .

这就证明了换元公式 $(1)$ 。

例21 求 $\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x (a > 0)$ .
解：这个积分的困难在于有根式 $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ ，但我们可以利用三角函数公式

\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1

来化去根式。
设 $x = \sin t, - \frac{π}{2} < t < \frac{π}{2}$ ，则 $\sqrt{a^{2} - x^{2}} = \sqrt{a^{2} - a^{2} \sin^{2} t} = a \cos t, d x = a \cos t d t$ ，所求积分化为

\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = \int a \cos t \cdot a \cos t d t = a^{2} \int \cos^{2} t d t .

又

\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = a^{2} (\frac{t}{2} + \frac{\sin 2 t}{4}) + C = \frac{a^{2}}{2} t + \frac{a^{2}}{2} \sin t \cos t + C .

由于 $x = \sin t, - \frac{π}{2} < t < \frac{π}{2}$ ，所以

t = \arcsin \frac{x}{a}, \cos t = \sqrt{1 - \sin^{2} t} = \sqrt{1 - {(\frac{x}{a})}^{2}} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a},

于是所求积分为

\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{1}{2} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C .

例22 求 $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} (a > 0)$ .
解：可利用三角函数公式

1 + \tan^{2} t = \sec^{2} t

来化去根式。
设 $x = a \tan t (- \frac{π}{2} < t < \frac{π}{2})$ ，则

\sqrt{x^{2} + a^{2}} = \sqrt{a^{2} \tan^{2} t + a^{2}} = a \sqrt{\tan^{2} t + 1} = a \sec t, d x = a \sec^{2} t d t,

于是

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \int \frac{a \sec^{2} t}{a \sec t} d t = \int \sec t d t = \ln | \sec t + \tan t | + C .

为了把 $\sec t$ 及 $\tan t$ 转换成 $x$ 的函数，可以根据 $\tan t = \frac{x}{a}$ 作辅助三角形，便有

\sec t = \frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{a},

且 $\sec t + \tan t > 0$ ，因此，

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \ln (\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{a}) + C = \ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}) + C_{1},

其中 $C_{1} = C - \ln a$ .

例23 $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} (a > 0)$ .
解：可利用公式

\sec^{2} t - 1 = \tan^{2} t

来化去根式。注意到被积函数的定义域是 $x > a$ 和 $x < - a$ 两个区间，我们在两个区间内分别求不定积分。

当 $x > a$ 时，设 $x = a \sec t (0 < t < \frac{π}{2})$ ，则

\sqrt{x^{2} - a^{2}} = \sqrt{a^{2} \sec^{2} t - a^{2}} = a \sqrt{\sec^{2} t - 1} = a \tan t, d x = a \sec t \tan t d t,

于是

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \int \frac{a \sec t \tan t}{a \tan t} d t = \int \sec t d t = \ln (\sec t + \tan t) + C .

根据 $\sec t = \frac{x}{a}$ 作辅助三角形得

\tan t = \frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a}

因此

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \ln (\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a}) + C = \ln (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}) + C_{1}

其中 $C_{1} = C - \ln a$ .

当 $x < - a$ 时，令 $x = - u$ ，那么 $u > a$ ，由上段结果，有

\begin{aligned} \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} & = - \int \frac{d u}{\sqrt{u^{2} - a^{2}}} = - \ln (u + \sqrt{u^{2} - a^{2}}) + C \\ = - \ln (- x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}) + C = \ln \frac{- x - \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a^{2}} + C \\ = \ln (- x - \sqrt{x^{2} - a^{2}}) + C_{1} \end{aligned}

其中 $C_{1} = C - 2 \ln a$ .
把 $x > a$ 及 $x < - a$ 内的结果合起来，得，

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} | + C

从上述三个例子可知：

如果被积函数含有 $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ ，可以作代换 $x = a \sin t$ 化去根式；

如果被积函数含有 $\sqrt{x^{2} + a^{2}}$ ，可以作代换 $x = a \tan t$ 化去根式；

如果被积函数含有 $\sqrt{x^{2} - a^{2}}$ ，可以作代换 $x = \pm a \sec t$ 化去根式.

可以利用另一种代换——倒代换 消去被积函数的分母中的变量因子 $x$ 。

例24 求 $\int \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{x^{4}} d x (a \neq 0)$ .
解：设 $x = \frac{1}{t}$ ,则 $d x = - \frac{d t}{t^{2}}$ ，于是

\int \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{x^{4}} d x = \int \frac{\sqrt{a^{2} - \frac{1}{t^{2}}} \cdot (- \frac{d t}{t^{2}})}{\frac{1}{t^{4}}} = - \int (a^{2} t^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} | t | d t,

当 $x > 0$ 时，有

\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{x^{4}} d x & = - \frac{1}{2 a} \int (a^{2} t^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} d (a^{2} t^{2} - 1) \\ = - \frac{(a^{2} t^{2} - 1)^{\frac{3}{2}}}{3 a^{2}} + C \\ = - \frac{(a^{2} - x^{2})^{\frac{3}{2}}}{3 a^{2} x^{3}} + C \end{aligned}

例27 求 $\int \frac{x^{3}}{(x^{2} - 2 x + 2)^{2}} d x$ .
解：分母是二次质因式的平方，把二次质因式配方成 $(x - 1)^{2} + 1$ ，令 $x - 1 = \tan t (- \frac{π}{2} < t < \frac{π}{2})$ ，则