高等数学 4.2 换元积分法（一）第一类换元法

设 $f (u)$ 具有原函数 $F (u)$ ，即

F^{'} (u) = f (u), \int f (u) d u = F (u) + C

如果 $u$ 是中间变量： $u = φ (x)$ ，且设 $φ (x)$ 可微，那么根据复合函数微分法，有

d F [φ (x)] = f [φ (x)] φ^{'} (x) d x

从而根据不定积分定义，得

\int f [φ (x)] φ^{'} (x) d x = F [φ (x)] + C = {[\int f (u) d u]}_{u = φ (x)}

于是有下述定理：

定理1 设 $f (u)$ 具有原函数， $u = φ (x)$ 可导，则有换元公式

$\begin{matrix} (1) & \int f [φ (x)] φ^{'} (x) d x = {[\int f (u) d u]}_{u = φ (x)} . \end{matrix}$

由此定理可见，虽然 $\int f [φ (x)] φ^{'} (x) d x$ 是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的 $d x$ 也可当做变量 $x$ 的微分来对待，从而微分等式 $φ^{'} (x) d x = d u$ 可以方便地应用到被积表达式中来。

应用公式 $(1)$ 来求不定积分，可以设 $\int g (x) d x$ ，如果函数 $g (x)$ 可以化为 $g (x) = f [φ (x)] φ^{'} (x)$ 的形式，那么

\int g (x) d x = \int f [φ (x)] φ^{'} (x) d x = {[\int f (u) d u]}_{u = φ (x)},

这样，函数 $g (x)$ 的积分即转化为函数 $f (u)$ 的积分。如果能求得 $f (u)$ 的原函数，那么也就得到了 $g (x)$ 的原函数。

例1 求 $\int 2 \cos 2 x d x$
解：被积函数中， $\cos 2 x$ 是一个由 $\cos 2 x = \cos u, u = 2 x$ 复合而成的复合函数，常数因子恰好是中间变量 $u$ 的导数。因此，做变换 $u = 2 x$ ，便有

\int 2 \cos 2 x d x = \int \cos 2 x \cdot 2 d x = \int \cos 2 x \cdot (2 x)^{'} d x = \int \cos u d u = \sin u + C,

再以 $u = 2 x$ 代入，即得

\int 2 \cos 2 x d x = \sin 2 x + C .

例2 求 $\int \frac{1}{3 + 2 x} d x$ .
解：被积函数 $\frac{1}{3 + 2 x} = \frac{1}{u}, u = 3 + 2 x$ 。这里缺少 $\frac{d u}{d x} = 2$ 这样一个因子，但由于 $\frac{d u}{d x}$ 是个常数，故可改变系数凑出这个因子：

\frac{1}{3 + 2 x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 + 2 x} \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 + 2 x} (3 + 2 x)^{'},

从而令 $u = 3 + 2 x$ ，便有

\begin{aligned} \int \frac{1}{3 + 2 x} d x & = \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 + 2 x} (3 + 2 x)^{'} d x = \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u} d u \\ = \frac{1}{2} \ln | u | + C = \frac{1}{2} \ln | 3 + 2 x | + C . \end{aligned}

一般地，对于积分 $\int f (a x + b) d x (a \neq 0)$ ，总可作变换 $u = a x + b$ ，把它化为

$\int f (a x + b) d x = \int \frac{1}{a} f (a x + b) d (a x + b) = \frac{1}{a} {[\int f (u) d u]}_{u = a x + b}$

例3 求 $\int \frac{x^{2}}{(x + 2)^{3}} d x$ .
解：令 $u = x + 2, d x = d u$ ,于是

\begin{aligned} \int \frac{x^{2}}{(x + 2)^{3}} d x & = \int \frac{(u - 2)^{2}}{u^{3}} d u = \int (u^{2} - 4 u + 4) u^{- 3} d u \\ = \int (u^{- 1} - 4 u^{- 2} + 4 u^{- 3}) d u = \ln | u | + 4 u^{- 1} - 2 u^{- 2} + C \\ = \ln | x + 2 | + \frac{4}{x + 2} - \frac{2}{(x + 2)^{2}} + C \end{aligned}

例4 求 $\int 2 x e^{x^{2}} d x$ .
解：被积函数中的一个因子为 $e^{x^{2}} = e^{u}, u = x^{2}$ ,剩下的因子 $2 x$ 恰好是中间变量 $u = x^{2}$ 的导数，于是有

\int 2 x e^{x^{2}} d x = \int e^{x^{2}} d (x^{2}) = \int e^{u} d u = e^{u} + C = e^{x^{2}} + C .

例5 求 $\int x \sqrt{1 - x^{2}} d x$ .
解：设 $u = 1 - x^{2}$ ,则 $d u = - 2 x d x$ ,即 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ ,因此，

\int x \sqrt{1 - x^{2}} d x = \int u^{\frac{1}{2}} \cdot (- \frac{1}{2}) d u = - \frac{1}{2} \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = - \frac{1}{3} (1 - x^{2})^{\frac{3}{2}} + C .

例6 求 $\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x$ .
解：

\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x = \int \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{1}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}} d x = \frac{1}{a} \int \frac{1}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}} d \frac{x}{a} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C .

例7 求 $\int \frac{d x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ .
解：

\int \frac{d x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \int \frac{1}{a} \cdot \frac{d x}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{a})}^{2}}} = \int \frac{d \frac{x}{a}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{a})}^{2}}} = \arcsin \frac{x}{a} + C .

例8 求 $\int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x$ .
解：由于

\frac{1}{x^{2} - a^{2}} = \frac{1}{2 a} (\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x + a}),

所以

\begin{aligned} \int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x & = \frac{1}{2 a} \int (\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x + a}) d x = \frac{1}{2 a} (\int \frac{1}{x - a} d x - \int \frac{1}{x + a} d x) \\ = \frac{1}{2 a} [\int \frac{1}{x - a} d (x - a) - \int \frac{1}{x + a} d (x + a)] \\ = \frac{1}{2 a} (\ln | x - a | - \ln | x + a |) + C \\ = \frac{1}{2 a} \ln | \frac{x - a}{x + a} | + C . \end{aligned}

例9 求 $\int \frac{d x}{x (1 + 2 \ln x)}$ .
解：

\int \frac{d x}{x (1 + 2 \ln x)} = \int \frac{d (\ln x)}{1 + 2 \ln x} = \frac{1}{2} \int \frac{d (1 + 2 \ln x)}{1 + 2 \ln x} = \frac{1}{2} \ln | 1 + 2 \ln x | + C .

例10 求 $\int \frac{e^{3 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$ .
解：由于 $d \sqrt{x} = \frac{1}{2} \frac{d x}{\sqrt{x}}$ ,因此，

\int \frac{e^{3 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x = 2 \int e^{3 \sqrt{x}} d \sqrt{x} = \frac{2}{3} \int e^{3 \sqrt{x}} d (3 \sqrt{x}) = \frac{2}{3} e^{3 \sqrt{x}} + C .

例11 求 $\int \sin^{3} x d x$ .
解：

\int \sin^{3} x d x = \int \sin^{2} x \sin x d x = - \int (1 - \cos^{2} x) d (\cos x) = - \cos x + \frac{1}{3} \cos^{3} x + C .

例12 求 $\int \sin^{2} x \cos^{5} x d x$
解：

\begin{aligned} \int \sin^{2} x \cos^{5} x d x & = \int \sin^{2} x \cos^{4} x \cos x d x \\ = \int \sin^{2} x (1 - \sin^{2} x)^{2} d (\sin x) \\ = \int (\sin^{2} x - 2 \sin^{4} x + \sin^{6} x) d (\sin x) \\ = \frac{1}{3} \sin^{3} x - \frac{2}{5} \sin^{5} x + \frac{1}{7} \sin^{7} x + C . \end{aligned}

一般地，对于 $\sin^{2 k + 1} x \cos^{n} x$ 或 $\sin^{n} x \cos^{2 k + 1} x$ （其中 $k \in N$ ）型函数的积分，总可依次作变换 $u = \cos x$ 或 $u = \sin x$ ,求的结果。

例13 求 $\int \tan x d x$ .
解：

\int \tan x d x = \int \frac{\sin x}{\cos x} d x = - \int \frac{1}{\cos x} d (\cos x) = - \ln | \cos x | + C .

类似地可得

\int \cot x d x = \ln | \sin x | + C .

例14 求 $\int \cos^{2} x d x$ .
解：

\begin{aligned} \int \cos^{2} x d x & = \int \frac{1 + \cos 2 x}{2} d x \\ = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos 2 x d x) \\ = \frac{1}{2} \int d x + \frac{1}{4} \int \cos 2 x d (2 x) \\ = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2 x}{4} + C . \end{aligned}

例15 求 $\int \sin^{2} x \cos^{4} x d x$ .
解：

\begin{aligned} \int \sin^{2} x \cos^{4} x d x & = \frac{1}{8} \int (1 - \cos 2 x) (1 + \cos 2 x)^{2} d x \\ = \frac{1}{8} \int (1 + \cos 2 x - \cos^{2} 2 x - \cos^{3} 2 x) d x \\ = \frac{1}{8} \int (\cos 2 x - \cos^{3} 2 x) d x + \frac{1}{8} \int (1 - \cos^{2} 2 x) d x \\ = \frac{1}{8} \int \sin^{2} 2 x \cdot \frac{1}{2} d (\sin 2 x) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{2} (1 - \cos 4 x) d x \\ = \frac{1}{48} \sin^{3} 2 x + \frac{x}{16} - \frac{1}{64} \sin 4 x + C . \end{aligned}

一般地，对于 $\sin^{2 k} x \cos^{2 l} x (k, l \in N)$ 型函数，总可利用三角恒等式： $\sin^{2} x = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 x), \cos^{2} x = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 x)$ 化成 $\cos 2 x$ 的多项式，然后采用例15中的方法求得积分。