高等数学 4.1 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

定义1 如果在区间 I 上,可导函数 F(x) 的导函数为 f(x) ,即对任一 xI ,都有

F(x)=f(x)dF(x)=f(x)dx,

那么函数 F(x) 就称为 f(x) (或 f(x)dx)在区间 I 上的一个原函数

例如,因 (sinx)=cosx ,故 sinxcosx 的一个原函数。

原函数存在定理 如果函数 f(x) 在区间 I 上连续,那么在区间 I 上存在可导函数 F(x) ,使对任一 xI 都有

F(x)=f(x).

简单地说就是:连续函数一定有原函数

下面还有两点要说明:

第一,如果 f(x) 在区间 I 上有原函数,即有一个函数 F(x) ,使对任一 xI ,都有 F(x)=f(x) ,那么,对任何常数 C ,显然有

[F(x)+C]=f(x),

即对任何常数 C ,函数 F(x)+C 也是 f(x) 的原函数。这说明,如果 f(x) 有一个原函数,那么 f(x) 就有无限多个原函数。

第二,如果在区间 IF(x)f(x) 的一个原函数,那么 f(x) 的其他原函数与 F(x) 只差一个常数。当 C 为任意的常数时,表达式

F(x)+C

就可以表示 f(x) 的任意一个原函数。

定义2 在区间 I 上,函数 f(x) 的带有任意常数项的原函数称为 f(x) (或 f(x)dx)在区间 I 上的不定积分,记作

f(x)dx.

其中几号 称为积分号f(x) 称为被积函数f(x)dx 称为被积表达式x 称为积分变量

由此定义可知,如果 F(x)f(x) 在区间 I 上的一个原函数,那么 F(x)+C 就是 f(x) 的不定积分,即

f(x)dx=F(x)+C.

因而不定积分 f(x)dx 可以表示 f(x) 的任意一个原函数。

从不定积分的定义可知有下述关系:
由于 f(x)dxf(x) 的原函数,所以

ddx[f(x)dx]=f(x),

d[f(x)dx]=f(x)dx;

又由于 F(x)F(x) 的原函数,所以

F(x)dx=F(x)+C,

或记作

dF(x)=F(x)+C.

由此可见,微分运算(以记号 d 表示)与求不定积分的运算(或简称积分运算,以记号 表示)是互逆的。当记号 d 连在一起时,或者抵消,或者抵消后差一个常数。

二、基本积分表

(1)kdx=kx+C(k)(2)xμdx=xμ+1μ+1+C(μ1)(3)dxx=ln|x|+C(4)dx1+x2=arctanx+C(5)dx1x2=arcsinx+C(6)cosxdx=sinx+C(7)sinxdx=cosx+C(8)dxcos2x=sec2xdx=tanx+C(9)dxsin2x=csc2xdx=cotx+C(10)secxtanxdx=secx+C(11)cscxcotxdx=cscx+C(12)exdx=ex+C(13)axdx=axlna+C(a>0a1)

三、不定积分的性质

性质1 设函数 f(x)g(x) 的原函数存在,则

[f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx.

性质1对有限个函数都是成立的。

性质2 设函数 f(x) 的原函数存在,k 为非零常数,则

kf(x)dx=kf(x)dx.

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