高等数学 4.1 不定积分的概念与性质

目录

• 一、原函数与不定积分的概念
• 二、基本积分表
• 三、不定积分的性质

一、原函数与不定积分的概念

定义1 如果在区间 \(I\) 上，可导函数 \(F(x)\) 的导函数为 \(f(x)\) ，即对任一 \(x \in I\) ，都有

\[F'(x) = f(x) 或 \mathrm{d}F(x) = f(x) \mathrm{d}x , \]

那么函数 \(F(x)\) 就称为 \(f(x)\) （或 \(f(x) \mathrm{d}x\)）在区间 \(I\) 上的一个原函数。

例如，因 \((\sin x)' = \cos x\) ，故 \(\sin x\) 是 \(\cos x\) 的一个原函数。

原函数存在定理 如果函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，那么在区间 \(I\) 上存在可导函数 \(F(x)\) ，使对任一 \(x \in I\) 都有

\[F'(x) = f(x) . \]

简单地说就是：连续函数一定有原函数。

下面还有两点要说明：

第一，如果 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有原函数，即有一个函数 \(F(x)\) ，使对任一 \(x \in I\) ，都有 \(F'(x) = f(x)\) ，那么，对任何常数 \(C\) ，显然有

\[[F(x) + C]' = f(x) , \]

即对任何常数 \(C\) ，函数 \(F(x) + C\) 也是 \(f(x)\) 的原函数。这说明，如果 \(f(x)\) 有一个原函数，那么 \(f(x)\) 就有无限多个原函数。

第二，如果在区间 \(I\) 上 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，那么 \(f(x)\) 的其他原函数与 \(F(x)\) 只差一个常数。当 \(C\) 为任意的常数时，表达式

\[F(x) + C \]

就可以表示 \(f(x)\) 的任意一个原函数。

定义2 在区间 \(I\) 上，函数 \(f(x)\) 的带有任意常数项的原函数称为 \(f(x)\) （或 \(f(x) \mathrm{d}x\)）在区间 \(I\) 上的不定积分，记作

\[\int f(x) \mathrm{d}x . \]

其中几号 \(\int\) 称为积分号，\(f(x)\) 称为被积函数，\(f(x) \mathrm{d}x\) 称为被积表达式，\(x\) 称为积分变量。

由此定义可知，如果 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上的一个原函数，那么 \(F(x) + C\) 就是 \(f(x)\) 的不定积分，即

\[\int f(x) \mathrm{d}x = F(x) + C . \]

因而不定积分 \(\int f(x) \mathrm{d}x\) 可以表示 \(f(x)\) 的任意一个原函数。

从不定积分的定义可知有下述关系：
由于 \(\int f(x) \mathrm{d}x\) 是 \(f(x)\) 的原函数，所以

\[\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \int f(x) \mathrm{d}x \right] = f(x) , \]

或

\[\mathrm{d} \left[ \int f(x) \mathrm{d}x \right] = f(x) \mathrm{d}x ; \]

又由于 \(F(x)\) 是 \(F'(x)\) 的原函数，所以

\[\int F'(x) \mathrm{d}x = F(x) + C , \]

或记作

\[\int \mathrm{d} F(x) = F(x) + C. \]

由此可见，微分运算（以记号 \(\mathrm{d}\) 表示）与求不定积分的运算（或简称积分运算，以记号 \(\int\) 表示）是互逆的。当记号 \(\int\) 与 \(\mathrm{d}\) 连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。

二、基本积分表

\[\begin{align} \int k \mathrm{d}x &= kx + C \quad (k是常数) \\ \int x^{\mu} \mathrm{d}x &= \cfrac{x^{\mu + 1}}{\mu + 1} + C \quad (\mu \neq -1) \\ \int \cfrac{\mathrm{d}x}{x} &= \ln{|x|} + C \\ \int \cfrac{\mathrm{d}x}{1 + x^2} &= \arctan x + C \\ \int \cfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2}} &= \arcsin x + C \\ \int \cos x \mathrm{d}x &= \sin x + C \\ \int \sin x \mathrm{d}x &= - \cos x + C \\ \int \cfrac{\mathrm{d}x}{\cos^2 x} &= \int \sec^2 x \mathrm{d}x = \tan x + C \\ \int \cfrac{\mathrm{d}x}{\sin^2 x} &= \int \csc^2 x \mathrm{d}x = - \cot x + C \\ \int \sec x \tan x \mathrm{d}x &= \sec x + C \\ \int \csc x \cot x \mathrm{d}x &= -\csc x + C \\ \int \mathrm{e}^x \mathrm{d}x &= \mathrm{e}^x + C \\ \int a^x \mathrm{d}x &= \cfrac{a^x}{\ln a} + C (a > 0 且 a \neq 1) \end{align} \]

三、不定积分的性质

性质1 设函数 \(f(x)\) 及 \(\mathrm{g}(x)\) 的原函数存在，则

\[\int [f(x) \pm \mathrm{g}(x)] \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d}x \pm \int \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x . \]

性质1对有限个函数都是成立的。

性质2 设函数 \(f(x)\) 的原函数存在，\(k\) 为非零常数，则

\[\int k f(x) \mathrm{d}x = k \int f(x) \mathrm{d}x . \]