高等数学 4.1 不定积分的概念与性质

目录

一、原函数与不定积分的概念

定义1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导函数为 f(x) ，即对任一 x∈I ，都有

F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,

那么函数 F(x) 就称为 f(x) （或 f(x)dx）在区间 I 上的一个原函数。

例如，因 (sin⁡x)′=cos⁡x ，故 sin⁡x 是 cos⁡x 的一个原函数。

原函数存在定理 如果函数 f(x) 在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导函数 F(x) ，使对任一 x∈I 都有

F′(x)=f(x).

简单地说就是：连续函数一定有原函数。

下面还有两点要说明：

第一，如果 f(x) 在区间 I 上有原函数，即有一个函数 F(x) ，使对任一 x∈I ，都有 F′(x)=f(x) ，那么，对任何常数 C ，显然有

[F(x)+C]′=f(x),

即对任何常数 C ，函数 F(x)+C 也是 f(x) 的原函数。这说明，如果 f(x) 有一个原函数，那么 f(x) 就有无限多个原函数。

第二，如果在区间 I 上 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，那么 f(x) 的其他原函数与 F(x) 只差一个常数。当 C 为任意的常数时，表达式

F(x)+C

就可以表示 f(x) 的任意一个原函数。

定义2 在区间 I 上，函数 f(x) 的带有任意常数项的原函数称为 f(x) （或 f(x)dx）在区间 I 上的不定积分，记作

∫f(x)dx.

其中几号 ∫ 称为积分号，f(x) 称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。

由此定义可知，如果 F(x) 是 f(x) 在区间 I 上的一个原函数，那么 F(x)+C 就是 f(x) 的不定积分，即

∫f(x)dx=F(x)+C.

因而不定积分 ∫f(x)dx 可以表示 f(x) 的任意一个原函数。

从不定积分的定义可知有下述关系：
由于 ∫f(x)dx 是 f(x) 的原函数，所以

ddx[∫f(x)dx]=f(x),

或

d[∫f(x)dx]=f(x)dx;

又由于 F(x) 是 F′(x) 的原函数，所以

∫F′(x)dx=F(x)+C,

或记作

∫dF(x)=F(x)+C.

由此可见，微分运算（以记号 d 表示）与求不定积分的运算（或简称积分运算，以记号 ∫ 表示）是互逆的。当记号 ∫ 与 d 连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。

二、基本积分表

(1)∫kdx=kx+C(k是常数)(2)∫xμdx=xμ+1μ+1+C(μ≠−1)(3)∫dxx=ln⁡|x|+C(4)∫dx1+x2=arctan⁡x+C(5)∫dx1−x2=arcsin⁡x+C(6)∫cos⁡xdx=sin⁡x+C(7)∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C(8)∫dxcos2⁡x=∫sec2⁡xdx=tan⁡x+C(9)∫dxsin2⁡x=∫csc2⁡xdx=−cot⁡x+C(10)∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C(11)∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C(12)∫exdx=ex+C(13)∫axdx=axln⁡a+C(a>0且a≠1)

三、不定积分的性质

性质1 设函数 f(x) 及 g(x) 的原函数存在，则

∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.

性质1对有限个函数都是成立的。

性质2 设函数 f(x) 的原函数存在，k 为非零常数，则

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.

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