高等数学 3.7 曲率

一、弧微分
二、曲率及其计算
三、曲率圆与曲率半径
*四、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线

一、弧微分

设函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 内具有连续导数。在曲线 $y = f (x)$ 上取固定点 $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ 作为度两户唱的基点，并规定依 $x$ 增大的方向为曲线的正向。对曲线上任一点 $M (x, y)$ ，规定有向弧段 $\overset{⌢}{M_{0} M}$ 的值 $s$ （简称为弧 $s$ ）如下： $s$ 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段 $\overset{⌢}{M_{0} M}$ 的方向与曲线的正向一致时 $s > 0$ ，相反时 $s < 0$ 。显然，弧 $s$ 与 $x$ 存在函数关系 $s = s (x)$ ，而且 $s (x)$ 是 $x$ 的单调增加函数。

弧微分

设 $x, x + Δ x$ 为 $(a, b)$ 内两个邻近的点，它们在曲线 $y = f (x)$ 上的对应点为 $M, M^{'}$ ，并设对应于 $x$ 的增量为 $Δ x$ ，弧 $s$ 的增量为 $Δ s$ ，那么

Δ s = \overset{⌢}{M_{0} M^{'}} - \overset{⌢}{M_{0} M} = \overset{⌢}{M M^{'}}

于是

\begin{aligned} {(\frac{Δ s}{Δ x})}^{2} & = (\frac{\overset{⌢}{M M^{'}}}{Δ x}) = {(\frac{\overset{⌢}{M M^{'}}}{| M M^{'} |})}^{2} \cdot \frac{| M M^{'} |^{2}}{(Δ x)^{2}} \\ = {(\frac{\overset{⌢}{M M^{'}}}{| M M^{'} |})}^{2} \cdot \frac{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}{(Δ x)^{2}} = {(\frac{\overset{⌢}{M M^{'}}}{| M M^{'} |})}^{2} [1 + {(\frac{Δ y}{Δ x})}^{2}], \\ \frac{Δ s}{Δ x} & = \pm \sqrt{{(\frac{\overset{⌢}{M M^{'}}}{| M M^{'} |})}^{2} [1 + {(\frac{Δ y}{Δ x})}^{2}]} \end{aligned}

令 $Δ x \to 0$ ，取极限，由于 $Δ x \to 0$ 时， $M^{'} \to M$ ，这时弧的长度与弦的长度之比的极限等于1，即

lim_{M^{'} \to M} \frac{| \overset{⌢}{M M^{'}} |}{| M M^{'} |} = 1

又

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = y^{'},

因此得

\frac{d s}{d x} = \pm \sqrt{1 + y^{' 2}}

由于 $s = s (x)$ 是单调增加函数，从而根号前应取正号，于是有

\begin{matrix} (1) & d s = \sqrt{1 + y^{' 2}} d x . \end{matrix}

这就是弧微分公式。

二、曲率及其计算

设曲线 $C$ 是光滑的，在曲线 $C$ 上选定一点 $M_{0}$ 作为度量弧 $s$ 的基点。设曲线上点 $M$ 对应于弧 $s$ ，在点 $M$ 处切线的倾角为 $α$ （这里假定曲线 $C$ 所在的平面上已设立了 $x O y$ 坐标系），曲线上另外一点 $M^{'}$ 对应于弧 $s + Δ s$ ，在点 $M^{'}$ 处切线的倾角为 $α + Δ α$ ，则弧段 $\overset{⌢}{M M^{'}}$ 的长度为 $Δ s$ ，当动点从点 $M$ 移动到点 $M^{'}$ 时切线转过的角度为 $| Δ α |$ 。

我们用比值 $| \frac{Δ α}{Δ s} |$ ，即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段 $\overset{⌢}{M M^{'}}$ 的弯曲程度，把这比值叫做弧段 $\overset{⌢}{M M^{'}}$ 的平均曲率，并记作 $\overset{―}{K}$ ，即

\overset{―}{K} = | \frac{Δ α}{Δ s} | .

类似于从平均速度引进瞬时速度的方法，当 $Δ s \to 0$ 时（即 $M^{'} \to M$ ），上述平均曲率的极限叫做曲线 $C$ 在点 $M$ 处的曲率，即

K = lim_{Δ x \to 0} | \frac{Δ α}{Δ s} | .

在 $lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ α}{Δ s} = \frac{d α}{d s}$ 存在的条件下， $K$ 也可以表示为

\begin{matrix} (2) & K = | \frac{d α}{d s} | . \end{matrix}

对于直线来说，切线与直线本身重合，当点沿直线移动时，切线的倾角 $α$ 不变， $Δ α = 0$ ， $\frac{Δ α}{Δ s} = 0$ ，从而 $K = | \frac{d α}{d s} | = 0$ 。这就是说，直线上任意点 $M$ 处的曲率都等于零。

设圆的半径为 $a$ ，由图可见圆在点 $M, M^{'}$ 处的切线所夹的角 $Δ α$ 等于圆心角 $M D M^{'}$ 。但 $∠ M D M^{'} = \frac{Δ s}{a}$ ，于是

圆的曲率

\frac{Δ α}{Δ s} = \frac{\frac{Δ s}{a}}{Δ s} = \frac{1}{a},

从而

K = | \frac{d α}{d s} | = \frac{1}{a} .

因为点 $M$ 是圆上任意取定的一点，上述结论表示圆上各点处的曲率都等于半径 $a$ 的倒数 $\frac{1}{a}$ ，这就是说，圆的弯曲程度到处都一样，且半径越小曲率越大，即圆弯曲得越厉害。

在一般情况下，我们根据 $(2)$ 式来推导出便于实际计算曲率的公式。

设曲线的直角坐标方程是 $y = f (x)$ ，且 $f (x)$ 具有二阶导数（这时 $f^{'} (x)$ 连续，从而曲线是光滑的）。因为 $\tan α = y^{'}$ ，所以

\sec^{2} α \frac{d α}{d x} = y^{″}, \frac{d α}{d x} = \frac{y^{″}}{1 + \tan^{2} α} = \frac{y^{″}}{1 + y^{' 2}},

于是

d α = \frac{y^{″}}{1 + y^{' 2}} d x .

又由 $(1)$ 知道

d s = \sqrt{1 + y^{' 2}} d x .

从而根据曲率 $K$ 的表达式 $(3)$ ，有

\begin{matrix} (3) & K = \frac{| y^{″} |}{(1 + y^{' 2})^{\frac{3}{2}}} . \end{matrix}

设曲线由参数方程

{\begin{cases} x = φ (t), \\ y = ψ (t) \end{cases}

给出，则可利用参数方程所确定的函数的求导法则，求出 $y_{x}^{'}$ 及 $y_{x}^{″}$ ，代入 (3) 得

\begin{matrix} (4) & K = \frac{| φ^{'} (t) ψ^{″} (t) - φ^{″} (t) ψ^{'} (t) |}{[φ^{' 2} (t) + ψ^{' 2} (t)]^{\frac{3}{2}}} . \end{matrix}

三、曲率圆与曲率半径

设曲线 $y = f (x)$ 在点 $M (x, y)$ 处的曲率为 $K (K \neq 0)$ 。在点 $M$ 处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点 $D$ ，使 $| D M | = \frac{1}{K} = ρ$ 。以 $D$ 为圆心， $ρ$ 为半径作圆，这个圆叫做曲线在点 $M$ 处的曲率圆，曲率圆的圆心 $D$ 叫做曲线在点 $M$ 处的曲率中心，曲率圆的半径 $ρ$ 叫做曲线在点 $M$ 处的曲率半径。