一、函数的极值及其求法

定义 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，如果对于去心邻域 $\mathring{U}(x_0)$ 内的任一 $x$ ，有

$$f(x)<f(x_0)(\mathrm{或}f(x)>f(x_0)),$$

那么就称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极大值（或极小值）。

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，是函数取得极值的点称为极值点。

函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极大值，那只是就 $x_0$ 附近的一个局部范围来说，$f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的一个最大值；如果就 $f(x)$ 的整个定义域来说，$f(x_0)$ 不见得是最大值。关于极小值也类似。

定理1（必要条件） 设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且在 $x_0$ 处取得极值，则 $f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$ 。

定理1就是说：可导函数 $f(x)$ 的极值点必定是它的驻点。但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。函数的驻点只是可能的极值点。此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值。

定理2（第一充分条件） 设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 内可导。
（1）若 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$f^{{}^{\prime }}(x)>0$ ，而 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$f^{{}^{\prime }}(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；
（2）若 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$f^{{}^{\prime }}(x)<0$ ，而 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$f^{{}^{\prime }}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值；
（3）若 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 时，$f(x)$ 的符号保持不变，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处没有极值。

根据上面两个定理，如果函数 $f(x)$ 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，那么就可以按一下步骤来求 $f(x)$ 在该区间内的极值点和相应的极值：
（1）求出导数 $f^{{}^{\prime }}(x)$ ；
（2）求出 $f(x)$ 的全部驻点与不可导点；
（3）考察 $f^{{}^{\prime }}(x)$ 的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；
（4）求出各极值点的函数值，就得函数 $f(x)$ 的全部极值。

定理3（第二充分条件） 设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有二阶导数且 $f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$ ，$f^{{}^{″}}(x_0)\ne 0$ ，则
（1）当 $f^{{}^{″}}(x_0)<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；
（2）当 $f^{{}^{″}}(x_0)>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值。

定理3表明，如果函数 $f(x)$ 在驻点 $x_0$ 处的二阶导数 $f^{{}^{″}}(x_0)\ne 0$ ，那么该驻点 $x_0$ 一定是极值点，并且可按二阶导数 $f^{{}^{″}}(x_0)$ 的符号来判定 $f(x_0)$ 是极大值还是极小值。但如果 $f^{{}^{″}}(x_0)=0$ ，那么定理3就不能应用。事实上 ，当 $f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$ ，$f^{{}^{″}}(x_0)=0$ 时，$f(x)$ 在 $x_0$ 处可能有极大值，也可能有极小值，也可能没有极值。因此，如果函数的驻点处的二阶导数为零，那么可以用一阶导数在驻点左、右邻近的符号来判定。如果函数在驻点处有 $f^{{}^{″}}(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$ ，$f^{(n)}(x_0)\ne 0$ ，那么也可以利用具有佩亚诺余项的泰勒公式来判定。

二、最大值最小值问题

假定函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点。在上述条件下，我们来讨论 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值的求法。

首先，由闭区间上连续函数的性质可知，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值一定存在。

其次，如果最大值（或最小值） $f(x_0)$ 在开区间 $(a,b)$ 内的点 $x_0$ 处取得，那么，按 $f(x)$ 在开区间内除有限个点外可导且至多有有限个驻点的假定，可知 $f(x_0)$ 一定也是 $f(x)$ 的极大值（或极小值），从而 $x_0$ 一定是 $f(x)$ 的驻点或不可导点。又 $f(x)$ 的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得。因此，可用如下方法求 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值：

（1）求出 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的驻点及不可导点；
（2）计算 $f(x)$ 在上述驻点、不可导点出的函数值及 $f(a)$ ，$f(b)$ ；
（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值，最小的便是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值。

在求函数的最大值（或最小值）时，特别值得指出的是下述情形：$f(x)$ 在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且只有一个驻点 $x_0$ ，并且这个驻点 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，那么，当 $f(x_0)$ 是极大值时，$f(x_0)$ 就是 $f(x)$ 在该区间上的最大值；当 $f(x_0)$ 是极小值时，$f(x_0)$ 就是 $f(x)$ 在该区间上的最小值。

还要指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数 $f(x)$ 确有最大值或最小值，而且一定在区间内部取得。这时，如果 $f(x)$ 在定义区间内部只有一个驻点 $x_0$ ，那么不必讨论 $f(x_0)$ 是不是极值，就可以断定 $f(x_0)$ 是最大值或最小值。