高等数学 3.3 泰勒公式

泰勒（Taylor）中值定理1 如果函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处具有 $n$ 阶导数，那么存在 $x_{0}$ 的一个邻域，对于该领域内的任一 $x$ ，有

$\begin{matrix} (1) & f (x) = f (x_{0}) + f^{^{'}} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{^{″}} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x), \end{matrix}$
其中

$\begin{matrix} (2) & R_{n} (x) = o ((x - x_{0})^{n}) . \end{matrix}$

公式 $(1)$ 称为 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处（或按 $x - x_{0}$ 的幂展开）的带有佩亚诺（Peano）余项的 $n$ 阶泰勒公式，而 $R_{n} (x)$ 的表达式 $(2)$ 称为佩亚诺余项，它就是用 $n$ 次泰勒多项式来近似表达 $f (x)$ 所产生的误差，这一误差是当 $x \to x_{0}$ 时比 $(x - x_{0})^{n}$ 高阶的无穷小，但不能由它具体估算出误差的大小。

泰勒中值定理2 如果函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某个邻域 $U (x_{0})$ 内具有 $n + 1$ 阶导数，那么对任一 $x \in U (x_{0})$ ，有

$\begin{matrix} (3) & f (x) = f (x_{0}) + f^{^{'}} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{^{″}} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x), \end{matrix}$
其中

$\begin{matrix} (4) & R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (x - x_{0})^{n + 1} \end{matrix}$

公式 $(3)$ 称为 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处（或按 $x - x_{0}$ 的幂展开）的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式，而 $R_{n} (x)$ 的表达式 $(4)$ 称为拉格朗日余项。

当 $n = 0$ 时，泰勒公式 $(3)$ 变成拉格朗日中值公式

f (x) = f (x_{0}) + f^{^{'}} (ξ) (x - x_{0}) (ξ 在 x_{0} 与 x 之 间)

因此，泰勒中值定理2是拉格朗日中值定理的推广。

由泰勒中值定理2可知，以多项式 $p_{n} (x)$ 近似表达函数 $f (x)$ 时，其误差为 $| R_{n} (x) |$ 。如果对于某个固定的 $n$ ，当 $x \in U (x_{0})$ 时， $| f^{(n + 1)} (x) | ⩽ M$ ，那么有估计式

\begin{matrix} (5) & | R_{n} (x) | = | \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (x - x_{0})^{n + 1} | ⩽ \frac{M}{(n + 1)!} | x - x_{0} |^{n + 1} \end{matrix}

在泰勒公式 $(1)$ 中，如果取 $x_{0} = 0$ ，那么带有佩亚诺余项的麦克劳林公式

\begin{matrix} (6) & f (x) = f (0) + f^{^{'}} (0) x + \frac{f^{^{″}} (0)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + o (x^{n}) . \end{matrix}

在泰勒公式 $(3)$ 中，如果取 $x = 0$ ，那么 $ξ$ 在0与 $x$ 之间。因此可以令 $ξ = θ x (0 < θ < 1)$ ，从而泰勒公式 $(3)$ 变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日余项的麦克劳林公式

\begin{matrix} (7) & f (x) = f (0) + f^{^{'}} (0) x + \frac{f^{^{″}} (0)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + \frac{f^{(n + 1)} (θ x)}{(n + 1)!} x^{n + 1} \end{matrix}

由 $(6)$ 或 $(7)$ 可得近似公式

f (x) \approx f (0) + f^{^{'}} (0) x + \frac{f^{^{″}} (0)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n},

估计误差式 $(5)$ 相应地变成

\begin{matrix} (8) & | R_{n} (x) | ⩽ \frac{M}{(n + 1)!} | x |^{n + 1} \end{matrix}

例1 写出函数 $f (x) = e^{x}$ 的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶麦克劳林公式。
解：因为

f^{^{'}} (x) = f^{^{″}} (x) = \dots = f^{(n)} (x) = e^{x},

所以

f (0) = f^{^{'}} (0) = f^{^{″}} (0) = \dots = f^{(n)} (0) = 1

把这些值代入公式 $(7)$ ，并注意到 $f^{(n + 1)} (θ x) = e^{θ x}$ 便得

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \frac{e^{θ x}}{(n + 1)!} x^{n + 1} (0 < θ < 1) .

由这个公式可知，把 $e^{x}$ 用它的 $n$ 次泰勒多项式表达为

e^{x} \approx 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!},

这时所产生的误差为

| R_{n} (x) | = | \frac{e^{θ x}}{(n + 1)!} x^{n + 1} | ⩽ \frac{e^{| x |}}{(n + 1)!} | x |^{n + 1} (0 < θ < 1) .

如果取 $x = 1$ ，则得无理数 $e$ 的近似式为

e \approx 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!},

其误差

| R_{n} | < \frac{e}{(n + 1)!} < \frac{3}{(n + 1)!} .

当 $n = 10$ 时，可算出 $e \approx 2.718282$ ，其误差不超过 $10^{- 6}$ .

例2 求 $f (x) = \sin x$ 的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶麦克劳林公式。
解：因为

f^{^{'}} (x) = \cos x, f^{^{″}} (x) = - \sin x, f^{^{‴}} (x) = - \cos x, f^{(4)} (x) = \sin x, \dots, f^{(n)} (x) = \sin (x + \frac{n π}{2}),

所以

f (0) = 0, f^{^{'}} (0) = 1, f^{^{″}} (0) = 0, f^{^{‴}} (0) = - 1, f^{(4)} (0) = 0

等。它们顺序循环地取四个数 $0, 1, 0, - 1$ ，于是按公式 $(7)$ 得（令 $n = 2 m$ ）

\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots + (- 1)^{2 m - 1} \frac{x^{2 m - 1}}{(2 m - 1)!} + R_{2 m} (x),

其中

R_{2 m} (x) = \frac{\sin [θ x + (2 m + 1) \frac{π}{2}]}{(2 m + 1)!} x^{2 m + 1} = (- 1)^{m} \frac{\cos θ x}{(2 m + 1)!} x^{2 m + 1} (0 < θ < 1) .

类似的还可以得到

\cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} - \dots + (- 1)^{m} \frac{1}{2 m!} x^{2 m} + R_{2 m + 1} (x)

其中

R_{2 m + 1} (x) = \frac{\cos [θ x + (m + 1) π]}{(2 m + 2)!} x^{2 m + 2} (0 < θ < 1);

\ln (x + 1) = x - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} - \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{1}{n} x^{n} + R_{n} (x),

其中

R_{n} (x) = \frac{(- 1)^{n}}{(n + 1) (1 + θ x)^{n + 1}} (0 < θ < 1);

(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!} x^{n} + R_{n} (x),

其中

R_{n} (x) = \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1) (α - n)}{(n + 1)!} (1 + θ x)^{α - n - 1} x^{n + 1} (0 < θ < 1) .

例3 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限 $lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^{3} x}$ .
解：由于分式的分母 $\sin^{3} x \sim x^{3} (x \to 0)$ ，我们只需将分子中的 $\sin x$ 和 $x \cos x$ 分别用带有佩亚诺余项的3阶麦克劳林公式表示，即