高等数学 3.1 微分中值定理

目录

一、罗尔定理

费马引理 设函数 f(x) 在点 x0 的某邻域 U(x0) 内有定义，并且在 x0 处可导，如果对任意的 x∈U(x0) ，有

f(x)⩽f(x0)(或f(x)⩾f(x0)),

那么 f′(x0)=0 .

证明：不妨设 x∈U(x0) 时，f(x)⩽f(x0) （如果 f(x)⩾f(x0) ，可类似地证明）。于是，对于 x0+Δx∈U(x0) ，有

f(x0+Δx)⩽f(x0),

从而当 Δx>0 时

f(x0+Δx)−f(x0)Δx⩽0;

当 Δx<0 时，

f(x0+Δx)−f(x0)Δx⩾0.

根据函数 f(x) 在点 x0 可导的条件及极限的保号性，便得到

f′(x0)=f+′(x0)=limΔx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δx⩽0,f′(x0)=f−′(x0)=limΔx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δx⩾0.

所以，f′(x0)=0 .证毕。

通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）。

罗尔定理 如果函数 f(x) 满足
(1) 在闭区间 [a,b] 上连续;
(2) 在开区间 (a,b) 内可导;
(3) 在区间端点处的函数值相等，即 f(a)=f(b) ，
那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ(a<ξ<b) ，使得 f′(ξ)=0 .

证明：由于 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，根据闭区间上连续函数的最大值最小值定理，f(x) 在闭区间 [a,b] 上必定取得它的最大值 M 和最小值 m 。这样，只有两种情形：
（1）M=m 。这时 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必然取相同的数值 M ：f(x)=M 。由此，∀x∈(a,b) ，有 f′(x)=0 。因此，任取 ξ∈(a,b) ，有 f′(ξ)=0 。
（2）M>m 。因为 f(a)=f(b) ，所以 M 和 m 这两个数中至少有一个不等于 f(x) 在区间 [a,b] 的端点处的函数值。为确定起见，不妨设 M≠f(a) （如果设 m≠f(a) ，证法完全类似），那么必定在开区间 (a,b) 内有一点 ξ 使 f(ξ)=M 。因此，∀x∈[a,b] ，有 f(x)⩽f(ξ) ，从而由费马引理可知 f′(ξ)=0 。
定理证毕。

二、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 如果函数 f(x) 满足
(1) 在闭区间 [a,b] 上连续;
(2) 在开区间 (a,b) 内可导;
那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ(a<ξ<b) ，使等式

(1)f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)

成立。

拉格朗日中值定理的证明 ：
引进辅助函数

φ(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a).

容易验证函数 φ(x) 适合罗尔定理的条件：φ(a)=φ(b)=0 ，φ(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且

φ′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)b−a.

根据罗尔定理，可知在 (a,b) 内至少有一点 ξ ，使 φ′(ξ)=0 ，即

f′(ξ)−f(b)−f(a)b−a=0.

由此得

f(b)−f(a)b−a=f′(ξ).

定理证毕。

定理 如果函数 f(x) 在区间 I 上连续，I 内可导且导数恒为零，那么 f(x) 在区间 I 上是一个常数。

证明：在区间 I 上任取两点 x1,x2(x1<x2) ，应用 (1) 式就得

f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1)(x1<ξ<x2).

由假定，f′(ξ)=0 ，所以 f(x2)−f(x1)=0 ，即

f(x2)=f(x1).

因为 x1,x2 是 I 上任意两点，所以上面的等式表明：f(x) 在 I 上的函数值总是相等的，这就是说， f(x) 在区间 I 上是一个常数。

从上述论证中可以看出，虽然拉格朗日中值定理中的 ξ 的准确数值不知道，但在这里并不妨碍它的应用。

例题 证明当 x>0 时，

x1+x<ln⁡(1+x)<x.

证明：设 f(t)=ln⁡(1+t) ，显然 f(t) 在区间 [0,x] 上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，应有

f(x)−f(0)=f′(ξ)(x−0),0<ξ<x.

由于 f(0)=0 ，f′(t)=11+t ，因此上式即为

ln⁡(1+x)=x1+ξ.

又由 0<ξ<x ，有

x1+x<x1+ξ<x,

即

x1+x<ln⁡(1+x)<x(x>0).

三、柯西中值定理

柯西中值定理 如果函数 f(x) 及 F(x) 满足
(1) 在闭区间 [a,b] 上连续;
(2) 在开区间 (a,b) 内可导;
对任一 x∈(a,b) ，F′(x)≠0 ，
那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ ，使等式

(2)f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ).

证明：首先注意到 F(b)−F(a)≠0 。这是由于

F(b)−F(a)=F′(η)(b−a),

其中 a<η<b ，根据假定 F′(η)≠0 ，又 b−a≠0 ，所以

F(b)−F(a)≠0.

设辅助函数

φ(x)=f(x)−f(b)−f(a)F(b)−F(a)F(x),

显然，φ(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且

φ(a)=φ(b)=F(b)f(a)−F(a)f(b)F(b)−F(a),

故 φ(x) 适合罗尔定理的条件，因此在 (a,b) 内至少有一点 ξ ，使

φ′(ξ)=f′(ξ)−f(b)−f(a)F(b)−F(a)F′(ξ)=0

由此得

f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ).

定理证毕。

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