一、导数的定义

函数在一点处的导数与导函数

定义 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\mathrm{\Delta }x$ （点 $x_0+\mathrm{\Delta }x$ 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$ ；如果 $\mathrm{\Delta }y$ 与 $\mathrm{\Delta }x$ 之比当 $\mathrm{\Delta }\to 0$ 时的极限存在，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $f^{\prime }(x_0)$ ，即

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x},\end{array}$$

也可记作 ${y^{\prime }|}_{x=x_0}$ ，${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}$ ，${\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}|}_{x\to x_0}$ .

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导有时也说成 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处具有导数或导数存在。

导数的定义式（1）也可以取不同的形式，常见的有

和

如果极限 （1）不存在就说函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处不可导。如果不可导的原因是由于 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时，比式 $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\to \mathrm{\infty }$ ，为了方便起见，也往往说函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数为无穷大。

上面讲的是函数在一点处可导。如果函数 $y=f(x)$ 在开区间 $I$ 内每点处都可导，那么就称函数 $y=f(x)$ 在开区间 $I$ 内可导。这时，对于任一 $x\in I$ ，都对应着 $f(x)$ 的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数 $y=f(x)$ 的导函数，记作 $y^{\prime }$ ，$f^{\prime }(x)$ ，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，$\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$ 。

在（1）式或（2）式中把 $x_0$ 换成 $x$ ，即得导函数的定义式：

或

注意：在以上两式中，虽然 $x$ 可以取区间 $I$ 内的任何数值，但在极限过程中，$x$ 是常量，$\mathrm{\Delta }x$ 或 $h$ 是变量。

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 就是导函数 $f^{\prime }(x)$ 在点 $x=x_0$ 处的函数值，即

导函数 $f^{\prime }(x)$ 简称导数，而 $f^{\prime }(x_0)$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数或导数 $f^{\prime }(x)$ 在点 $x_0$ 处的值。

单侧导数

根据函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 的定义，导数

是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此 $f-(x_0)$ 存在即 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件是左、右极限

都存在且相等。这两个极限分别称为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的左导数和右导数，记作 $f_{-}^{\prime }(x_0)$ 及 $f_{+}^{\prime }(x_0)$ ，即

现在可以说，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件是左导数 $f_{-}^{\prime }(x_0)$ 及右导数 $f_{+}^{\prime }(x_0)$ 都存在且相等。

左导数和右导数统称为单侧导数。

如果函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $f_{+}^{\prime }(a)$ 及 $f_{-}^{\prime }(b)$ 都存在，那么就说 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可导。

二、导数的几何意义

函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x_0,f(x_0))$ 处的切线的斜率，即

其中 $\alpha$ 是切线的倾角。

如果 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数为无穷大，那么这时曲线 $y=f(x)$ 的割线以垂直于 $x$ 轴的直线 $x=x_0$ 为极限位置，即曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x_0,f(x_0))$ 处具有垂直于 $x$ 轴的切线 $x=x_0$ .

根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x_0,y_0)$ 处的切线方程为

过切点 $M(x_0,f(x_0))$ 且与切线垂直的直线叫做曲线 $y=f(x)$ 在点 $M$ 处的法线。如果 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ ，法线的斜率为 $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$ ，从而法线方程为

例 求等边双曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $(\frac{1}{2},2)$ 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
解：根据导数的几何意义知道，所求切线斜率为

由于 $y^{\prime }={\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ ，于是

从而所求切线方程为

所求法线斜率为

于是所求法线方程为

例 求曲线 $y=x^{\frac{3}{2}}$ 的通过点 $(0,-4)$ 的切线方程。
解：设切点为 $(x_0,y_0)$ ，则切线的斜率为

于是所求切线方程可设为

因切点 $(x_0,y_0)$ 在曲线 $y=x^{\frac{3}{2}}$ 上，所以有

一直切线通过点 $(0,-4)$ ，故有

联立（5）和（6）可解得 $x_0=4,y_0=8$ ，代入（4）并化简。得所求切线方程为

三、函数可导性与连续性的关系

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处可导，即

存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道，

其中 $\alpha$ 为当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时的无穷小。上式两边同乘 $\mathrm{\Delta }x$ ，得

由此可见，当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时，$\mathrm{\Delta }y\to 0$ .这就是说，函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处是连续的。

所以，如果函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处可导，那么函数在该点必连续。
另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。

例 函数 $y=f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在区间 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ 内连续，但在点 $x=0$ 处不可导。这是因为在点 $x=0$ 处有

因而，$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h^{\frac{2}{3}}}=+\mathrm{\infty }$ ，即导数为无穷大（注意，导数不存在）。这一事实在图形中表现为曲线 $y=\sqrt[3]{x}$ 在原点 $O$ 具有垂直于 $x$ 轴的切线 $x=0$ .

例 函数 $y=\sqrt{x^2}$ （即 $y=|x|$）在 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ 内连续，但这个函数在 $x=0$ 处不可导。曲线 $y=\sqrt{x^2}$ 在原点 $O$ 没有切线。

函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。