高等数学 1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性
二、反函数与复合函数的连续性
三、初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

定理1 设函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在点 $x_{0}$ 连续，则它们的和（差） $f \pm g$ 、积 $f \cdot g$ 及商 $\frac{f}{g}$ （当 $g (x_{0}) \neq 0$ 时）都在点 $x_{0}$ 连续。

例1 因 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ ，而 $y = \sin x$ 和 $y = \cos x$ 都在区间 $(- \infty, \infty)$ 内连续，由定理1可知 $y = \tan x$ 和 $y = \cot x$ 在它们的定义域内是连续的。

二、反函数与复合函数的连续性

定理2 如果函数 $y = f (x)$ 在区间 $I_{x}$ 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 $x = f^{- 1} (y)$ 也在对应的区间 $I_{y} = y | y = f (x), x \in I_{x}$ 上单调增加（或单调减少）且连续。

例2 由于 $y = \sin x$ 在闭区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上单调增加且连续，所以它的反函数 $y = \arcsin x$ 在闭区间 $[- 1, 1]$ 上也是单调增加且连续的。

定理3 设函数 $y = f [g (x)]$ 由函数 $u = g (x)$ 与函数 $y = f (u)$ 复合而成， $\overset{˚}{U} (x_{0}) \subset D_{f \circ g}$ . 若 $lim_{x \to x_{0}} g (x) = u_{0}$ ，而函数 $y = f (u)$ 在 $u = u_{0}$ 连续，则

$lim_{x \to x_{0}} f [g (x)] = lim_{u \to u_{0}} f (u) = f (u_{0}) .$

因为在定理3中有

lim_{x \to x_{0}} g (x) = u_{0}, lim_{u \to u_{0}} = f (u_{0})

所以又可以写成

lim_{x \to x_{0}} f [g (x)] = f [lim_{x \to x_{0}} g (x)] .

把定理3中的 $x \to x_{0}$ 换成 $x \to \infty$ ，可得类似的定理。

例3 求 $lim_{x \to 3} \sqrt{\frac{x - 3}{x^{2} - 9}}$ .
解： $y = \sqrt{\frac{x - 3}{x^{2} - 9}}$ 可以看做有 $y = \sqrt{u}$ 与 $u = \frac{x - 3}{x^{2} - 9}$ 复合而成。因为 $lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} - 9} = \frac{1}{6}$ ，而函数 $y = \sqrt{u}$ 在点 $u = \frac{1}{6}$ 连续，所以

lim_{x \to 3} \sqrt{\frac{x - 3}{x^{2} - 9}} = \sqrt{lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} - 9}} = \sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} .

定理4 设函数 $y = f [g (x)]$ 由函数 $u = g (x)$ 与函数 $y = f (u)$ 复合而成， $\overset{˚}{U} (x_{0}) \subset D_{f \circ g}$ .若函数 $u = g (x)$ 在 $x = x_{0}$ 连续，且 $g (x_{0}) = u_{0}$ 而函数 $y = f (u)$ 在 $u = u_{0}$ 连续，则复合函数 $y = f [g (x)]$ 在 $x = x_{0}$ 也连续。

例4 讨论函数 $y = \sin \frac{1}{x}$ 的连续性。
解：函数 $y = \sin \frac{1}{x}$ 可看作是由 $u = \frac{1}{x}$ 及 $y = \sin u$ 复合而成的。 $u = \frac{1}{x}$ 当 $- \infty < x < 0$ 和 $0 < x < \infty$ 时是连续的， $y = \sin u$ 当 $- \infty < u < + \infty$ 时是连续的。根据定理4，函数 $y = \sin \frac{1}{x}$ 在无限区间 $(- \infty, 0)$ 和 $(0, + \infty)$ 内是连续的。

三、初等函数的连续性

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。

重要结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间。

初等函数连续性的结论提供了一个求极限的方法：如果 $f (x)$ 是初等函数，且 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的定义区间内的点，那么

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}) .

例5 求 $lim_{x \to 0} \frac{\log_{a} (1 + x)}{x} (a > 0, a \neq 1)$ .
解： $lim_{x \to 0} \frac{\log_{a} (1 + x)}{x} = lim_{x \to 0} \log_{a} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = \log_{a} e = \frac{1}{\ln a}$