高等数学 1.8 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性
二、函数的间断点
- 三种情形
- 间断点举例

一、函数的连续性

增量的概念

设变量 $u$ 从它的一个初值 $u_{1}$ 变到终值 $u_{2}$ ，终值与初值的差 $u_{2} - u_{1}$ 就叫做变量 $u$ 的增量，记作 $Δ u$ ，即

Δ u = u_{2} - u_{1}

增量 $Δ u$ 可以是正的，也可以是负的。在 $Δ u$ 为正的情形，变量 $u$ 从 $u_{1}$ 变到 $u_{2} = u_{1} + Δ u$ 时是增大的；当 $Δ u$ 为负时，变量 $u$ 是减小的。

注意：记号 $Δ u$ 并不表示某个量 $Δ$ 与变量 $u$ 的乘积，而是一个整体不可分割的记号。

函数连续的定义

定义设函数 $y = f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的某一邻域内有定义，如果

$lim_{Δ x \to 0} Δ y = lim_{Δ x \to 0} [f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})] = 0,$
那么就称函数 $y = f (x)$ 在点 $x_{0}$ 连续。

函数 $y = f (x)$ 在点 $x_{0}$ 连续的定义又可叙述如下：

设函数 $y = f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的某一邻域内有定义，如果

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$
那么就称函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 连续。

用“ $ε - δ$ ”语言表达如下：

f (x) 在 点 x_{0} 连 续 \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists δ > 0, 当 | x - x_{0} | < δ 时, 有 | f (x) - f (x_{0}) | < ε .

左连续与右连续的概念

如果 $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = f (x_{0}^{-})$ 存在且等于 $f (x_{0})$ ，即

f (x_{0}^{-}) = f (x_{0})

那么就说函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 左连续。

如果 $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = f (x_{0}^{+})$ 存在且等于 $f (x_{0})$ ，即

f (x_{0}^{+}) = f (x_{0})

那么就说函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 右连续。

函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 连续的充分必要条件是函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 即是左连续又是右连续。

在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。

例证明函数 $y = \sin x$ 在区间 $(- \infty, \infty)$ 内是连续的。
证：设 $x$ 是区间 $(- \infty, \infty)$ 内任意取定的一点。当 $x$ 有增量 $Δ x$ 时，对应的函数的增量为

Δ y = \sin (x + Δ x) - \sin x,

由三角公式有

\sin (x + Δ x) - \sin x = 2 \sin \frac{Δ x}{2} \cos (x + \frac{Δ x}{2})

所以

\begin{aligned} lim_{Δ x \to 0} Δ y & = lim_{Δ x \to 0} 2 \sin \frac{Δ x}{2} \cos (x + \frac{Δ x}{2}) \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} \cdot Δ x \cdot \cos (x + \frac{Δ x}{2}) \\ = 0 \end{aligned}

就推得 $y = \sin x$ 在区间 $(- \infty, \infty)$ 内是连续的。

二、函数的间断点

三种情形

设函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数 $f (x)$ 有下列三种情形之一：

在 $x = x_{0}$ 没有定义；
虽在 $x = x_{0}$ 有定义，但 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 不存在；
虽在 $x = x_{0}$ 有定义，且 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在，但 $lim_{x t o x_{0}} f (x) \neq f (x_{0})$ ，

那么函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 为不连续，而点 $x_{0}$ 称为函数 $f (x)$ 的不连续点或间断点。

间断点举例

例1 正切函数 $y = \tan x$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 处没有定义，所以点 $x = \frac{π}{2}$ 是函数 $\tan x$ 的间断点。因

lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan x = \infty

我们称 $x = \frac{π}{2}$ 是函数 $\tan x$ 的无穷间断点。

例2 函数 $y = \sin \frac{1}{x}$ 在点 $x = 0$ 没有定义；当 $x \to 0$ 时，函数值在 $- 1$ 与 $1$ 之间变动无限多次，所以点 $x = 0$ 称为函数 $\sin \frac{1}{x}$ 的振荡间断点。

例3 函数 $y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 在点 $x = 1$ 没有定义，所以函数在点 $x = 1$ 不连续。但这里

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 .

如果补充定义：令 $x = 1$ 时 $y = 2$ ，那么所给函数在点 $x = 1$ 成为连续。所以 $x = 1$ 称为该函数的可去间断点。

例4 函数

y = f (x) = {\begin{cases} x, x \neq 1, \\ \frac{1}{2}, x = 1 . \end{cases}

这里 $lim_{x \to 1} f (x) = lim_{x \to 1} x = 1$ ，但 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，所以

lim_{x \to 1} f (x) \neq f (1)

因此，点 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的间断点。但如果改变函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的定义；令 $f (1) = 1$ ，那么 $f (x)$ 在 $x = 1$ 成为连续。所以 $x = 1$ 也称为该函数的可去间断点。

例5 函数

y = f (x) = {\begin{cases} x - 1, & x < 0, \\ 0, & x = 0, \\ x + 1, & x > 0 . \end{cases}

这里，当 $x \to 0$ 时，

lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} x - 1 = - 1, lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} x + 1 = 1 .

左极限与右极限虽然存在，但不相等，故极限 $lim_{x \to 0} f (x)$ 不存在，所以点 $x = 0$ 是函数 $f (x)$ 的间断点。因 $y = f (x)$ 的图形在 $x = 0$ 处产生跳跃现象，我们称 $x = 0$ 为函数 $f (x)$ 的跳跃间断点。

通常把间断点分成两类：如果 $x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的间断点，但左极限 $f (x_{0}^{-})$ 及右极限 $f (x_{0}^{+})$ 都存在，那么 $x_{0}$ 称为函数 $f (x)$ 的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。在第一类间断点中，左、右极限相等的称为可去间断点，不相等的称为跳跃间断点。无穷间断点和振荡间断点为第二类间断点。