高等数学 1.7 无穷小的比较

定义：
如果 $lim \frac{β}{α} = 0$ 那么就说 $β$ 是比 $α$ 高阶的无穷小，记作 $β = o (α)$ ；
如果 $lim \frac{β}{α} = \infty$ ，那么就说 $β$ 是比 $α$ 低阶的无穷小；
如果 $lim \frac{β}{α} = c \neq 0$ ，那么就说 $β$ 与 $α$ 是同阶无穷小；
如果 $lim \frac{β}{α^{k}} = c \neq 0, k > 0$ ，那么就说 $β$ 是关于 $α$ 的 $k$ 阶无穷小；
如果 $lim \frac{β}{α} = 1$ ，那么就说 $β$ 与 $α$ 是 等价无穷小 ，记作 $α \sim β$ ；
显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情况。

例1 证明：当 $x \to 0$ 时， $\sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{n} x$
证：因为

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1 + x} - 1}{\frac{1}{n} x} & = lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt[n]{1 + x})^{n} - 1}{\frac{1}{n} x [\sqrt[n]{(1 + x)^{n - 1}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 2}} + \dots + 1]} \\ = lim_{x \to 0} \frac{n}{\sqrt[n]{(1 + x)^{n - 1}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 2}} + \dots + 1} = 1 \end{aligned}

关于等价无穷小，有以下两个定理：

定理1： $β$ 与 $α$ 是等价无穷小的充分必要条件为 $β = α + o (α)$ .

例2 因为当 $x \to 0$ 时， $\sin x \sim x, \tan x \sim x, \arcsin x \sim x, 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}$ ，所以当 $x \to 0$ 时有

\begin{aligned} \sin x & = x + o (x), \tan x = x + o (x), \\ \arcsin x & = x + o (x), 1 - \cos x = \frac{1}{2} x^{2} + o (x^{2}) \end{aligned}

定理2：设 $α \sim \tilde{α}, β \sim \tilde{β},$ ，且 $lim \frac{\tilde{β}}{\tilde{α}}$ 存在，则

$lim \frac{β}{α} = lim \frac{\tilde{β}}{\tilde{α}} .$

定理2表明，求两个无穷小之比的极限时，分子或分母都可用等价无穷小替换。

注意：若分子或分母为若干因子的乘积，可对其中一个或多个因子做等价无穷小替换。

例3 求 $lim_{x \to 0} \frac{\tan 2 x}{\sin 5 x}$ .
解：当 $x \to 0$ 时， $\tan 2 x \sim 2 x, \sin 5 x \sim 5 x$ ，所以

lim_{x \to 0} \frac{\tan 2 x}{\sin 5 x} = lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x} = \frac{2}{5}

例4 求 $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^{3} + 3 x}$ .
解：当 $x \to 0$ 时， $\sin x \sim x$ ，所以

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^{3} + 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x^{2} + 3)} = lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 3} = \frac{1}{3} .

例5 求 $lim_{x \to 0} \frac{(1 + x^{2})^{\frac{1}{3}} - 1}{\cos x - 1}$ .
解：当 $x \to 0$ 时， $(1 + x^{2})^{\frac{1}{3}} - 1 \sim \frac{1}{3} x^{2}$ ， $\cos x - 1 \sim - \frac{1}{2} x^{2}$ ，所以