高等数学 1.6 极限存在准则 两个重要极限

目录

第一个准则

准则Ⅰ：如果数列 {xn} ，{yn} 及 {zn} 满足下列条件：
（1）从某项起，即 ∃n0∈N+ ，当 n>n0 时，有

yn⩽xn⩽zn

（2）limn→∞yn=a ，limn→∞zn=a ，
那么数列 {xn} 的极限存在，且 limn→∞xn=a .

准则Ⅰ'：如果
（1）当 x∈U˚(x0,r) （或 |x|>M）时，

g(x)⩽f(x)⩽h(x);

（2）limx→0(x→∞)g(x)=A ，limx→0(x→∞)h(x)=A ，
那么 limx→0(x→∞)f(x) 存在，且等于 A 。

准则Ⅰ及准则Ⅰ'称为夹逼准则 。

第一个重要极限

limx→0sin⁡xx=1

例1 求 limx→0tan⁡xx
解：limx→0tan⁡xx=limx→0(sin⁡xx⋅1cos⁡x)=limx→0sin⁡xx⋅limx→01cos⁡x=1.

例2 求 limx→01−cos⁡xx2 .
解：

limx→01−cos⁡xx2=limx→0(sin2⁡xx2⋅11+cos⁡x)=limx→0(sin⁡xx)2⋅limx→011+cos⁡x=12

例3 求 limx→0arcsin⁡xx.
解：令 t=arcsin⁡x ，则 x=sin⁡t ，当 x→0 时，有 t→0 .于是由复合函数的极限运算法则得

limx→0arcsin⁡xx=limt→0tsin⁡t=1

第二个准则

准则Ⅱ：单调有界数列必有极限。

相应于单调有界数列必有极限的准则Ⅱ，函数极限也有类似的准则。对于自变量的不同变化过程 (x→x0−,x→x0+,x→−∞,x0→∞) ，准则的形式有所不同。以 x→x0− 为例，相应的准则叙述如下：
准则Ⅱ'：设函数 f(x) 在点 x0 的某个左邻域内单调并且有界，则 f(x) 在 x0 的左极限 f(x0−) 必定存在。

第二个重要极限

limx→∞(1+1x)x=e或者limx→0(1+x)1x=e

例4 求 limx→∞(1−1x)x .
解：令 t=−x ，则当 x→∞ 时，t→∞ .于是

limx→∞(1−1x)x=limt→∞(1+1t)−t=limt→∞1(1+1t)t=1e.

柯西（Cauchy）极限存在准则

柯西极限存在准则：数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε ，存在正整数 N ，使得当 m>N,n>N 时，有

|xn−xm|⩽ε.

柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。

posted @   暮颜  阅读(146)  评论(0)  编辑  收藏  举报
相关博文：
· 高等数学 1.2数列的极限
· 高等数学 1.5极限运算法则
· 第六节 极限存在准则 两个重要极限
· AM@2个极限存在准则及其应用
· 常用极限定理
阅读排行：
· 无需6万激活码！GitHub神秘组织3小时极速复刻Manus，手把手教你使用OpenManus搭建本
· Manus爆火，是硬核还是营销？
· 终于写完轮子一部分：tcp代理 了，记录一下
· 别再用vector＜bool＞了！Google高级工程师：这可能是STL最大的设计失误
· 单元测试从入门到精通
点击右上角即可分享
微信分享提示