高等数学 1.5极限运算法则

定理1：两个无穷小的和是无穷小。
注：有限个无穷小之和也是无穷小

定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论：常数与无穷小的乘积是无穷小

推论：有限个无穷小的乘积是无穷小。

定理3：如果 $lim f (x) = A, lim g (x) = B$ ，那么
（1） $lim [f (x) \pm g (x)] = lim f (x) + lim g (x) = A \pm B$ ；
（2） $lim [f (x) \cdot g (x)] = lim f (x) \cdot lim g (x) = A \cdot B$ ；
（3）若又有 $B \neq 0$ ，则 $lim \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim f (x)}{lim g (x)} = \frac{A}{B}$ 。

定理3中的（1）、（2）可以推广到有限个函数的情形。例如，如果 $lim f (x)$ 、 $lim g (x)$ 、 $lim h (x)$ 都存在，则有

\begin{aligned} lim [f (x) + g (x) + h (x)] & = lim f (x) + lim g (x) + lim h (x), \\ lim [f (x) \cdot g (x) \cdot h (x)] & = lim f (x) \cdot lim g (x) \cdot lim h (x) . \end{aligned}

推论：如果 $lim f (x)$ 存在，而 $c$ 为常数，那么

lim [c f (x)] = c lim f (x)

推论：如果 $lim f (x)$ 存在，而 $n$ 为正整数，那么

lim [f (x)]^{n} = [lim f (x)]^{n}

定理4：设有数列 ${x_{n}}$ 和 ${y_{n}}$ .如果

lim_{n \to \infty} x_{n} = A, lim_{n \to \infty} = B,

那么
（1） $lim_{n \to \infty} (x_{n} \pm y_{n}) = A \pm B$ ；
（2） $lim_{n \to \infty} (x_{n} \cdot y_{n}) = A \cdot B$ ；
（3）当 $y_{n} \neq 0 (n = 1, 2, \dots)$ 且 $B \neq 0$ 时， $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = \frac{A}{B}$ .

定理5：如果 $φ (x) ⩾ ψ (x)$ ，而 $lim φ (x) = A, ψ (x) = B$ ，那么 $A ⩾ B$ 。

例1 求 $lim_{x \to 1} (2 x - 1)$ .
解： $lim_{x \to 1} (2 x - 1) = lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1 = 2 lim_{x \to 1} x - 1 = 2 - 1 = 1$

例2 求 $lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 5 x + 3}$
解：这里分母的极限不为零，故

\begin{aligned} lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 5 x + 3} & = \frac{lim_{x \to 2} (x^{3} - 1)}{lim_{x \to 2} (x^{2} - 5 x + 3)} \\ = \frac{lim_{x \to 2} x^{3} - 1}{lim_{x \to 2} x^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 3} \\ = \frac{(lim_{x \to 2} x)^{3} - 1}{(lim_{x \to 2} x)^{2} - 5 \cdot 2 + 3} \\ = \frac{2^{3} - 1}{2^{2} - 10 + 3} = - \frac{7}{3} . \end{aligned}

从上面两个例题中可以看出，求 有理函数（多项式） 或 有理分式函数 当 $x \to x_{0}$ 的极限时，只要把 $x_{0}$ 代替函数中的 $x$ 就行了（对于有理分式函数，需假定这样代入后分母不等于零）。

事实上，设多项式

f (x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n}

则

\begin{aligned} lim_{x \to x_{0}} f (x) & = lim_{x \to x_{0}} (a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n}) \\ = a_{0} (lim_{x \to x_{0}} x)^{n} + a_{1} (lim_{x \to x_{0}} x)^{n - 1} + \dots + lim_{x \to x_{0}} a_{n} \\ = a_{0} x_{0}^{n} + a_{1} x_{0}^{n - 1} + \dots + a_{n} \\ = f (x_{0}) \end{aligned}

又设有理分式函数

F (x) = \frac{P (x)}{Q (x)},

其中 $P (x), Q (x)$ 都是多项式，于是

lim_{x \to x_{0}} P (x) = P (x_{0}), lim_{x \to x_{0}} Q (x) = Q (x_{0});

如果 $Q (x_{0}) \neq 0$ ，那么

lim_{x \to x_{0}} F (x) = lim_{x \to x_{0}} \frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{lim_{x \to x_{0}} P (x)}{lim_{x \to x_{0}} Q (x)} = \frac{P (x_{0})}{Q (x_{0})} = F (x_{0}) .

但必须注意：若 $Q (x_{0}) = 0$ ，则关于上的极限的运算法则不能应用，需要特别考虑。

例3 求 $lim_{x \to 3} = \frac{x - 3}{x^{2} - 9}$
解：当 $x \to 3$ 时，分子及分母的极限都是零，于是分子分母不能分别取极限。因分子及分母有公因子 $x - 3$ ，而 $x \to 3$ 时， $x \neq 3, x - 3 \neq 0$ ，可以约去这个不为零的公因子。所以

lim_{x \to 3} = \frac{x - 3}{x^{2} - 9} = lim_{x \to 3} = \frac{x - 3}{(x + 3) (x - 3)} = lim_{x \to 3} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{6}

例4 求 $lim_{x \to 1} \frac{2 x - 3}{x^{2} - 5 x + 4}$ .
解：因为分母的极限 $lim_{x \to 1} (x^{2} - 5 x + 4) = 1^{2} - 5 \cdot 1 + 4 = 0$ ，不能应用商的极限的运算法则，但因

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 5 x + 4}{2 x - 3} = \frac{1^{2} - 5 \cdot 1 + 4}{2 \cdot 1 - 3} = 0

可得

lim_{x \to 1} \frac{2 x - 3}{x^{2} - 5 x + 4} = \infty .

例5 求 $lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 2}{7 x^{3} + 5 x^{2} - 3}$ .
解：先用 $x^{3}$ 去除分子及分母，然后取极限，得

lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 2}{7 x^{3} + 5 x^{2} - 3} = lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{3}}}{7 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{3}}} = \frac{3}{7},

这是因为

lim_{x \to \infty} \frac{a}{x^{n}} = a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{n}} = a {(lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{n} = 0

其中 $a$ 为常数， $n$ 为正整数， $lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ .

例6 求 $lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{2 x^{3} - x^{2} + 5}$ .
解：先用 $x^{3}$ 去除分子和分母，然后取极限，得

lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{2 x^{3} - x^{2} + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}}{2 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}} = \frac{0}{2} = 0 .

例7 求 $lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{3} - x^{2} + 5}{3 x^{2} - 2 x - 1}$ .
解：应用例6的结果及相关定理，可得

lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{3} - x^{2} + 5}{3 x^{2} - 2 x - 1} = \infty .

例5、例6、例7是下列一般情形的特例，即当 $a_{0} \neq 0, b_{0} \neq 0$ ， $m$ 和 $n$ 为非负整数时，有

lim_{x \to \infty} = \frac{a_{0} x^{m} + a_{1} x^{m - 1} + \dots + a_{m}}{b_{0} x^{n} + ｂ_{1} x^{n - 1} + \dots + b_{n}} = {\begin{cases} 0, & 当 n > m, \\ \frac{a_{0}}{b_{0}}, & 当 n = m, \\ \infty, & 当 n < m . \end{cases}

例8 求 $lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ .
解：当 $x \to \infty$ 时，分子及分母的极限都不存在，故关于商的极限的运算法则不能应用。如果把 $\frac{\sin x}{x}$ 看做 $\sin x$ 与 $\frac{1}{x}$ 的乘积，由于 $\frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$ 时为无穷小，而 $\sin x$ 是有界函数，则根据定理有

lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 .

定理6（复合函数的极限运算法则） ：设函数 $y = f [g (x)]$ 是由函数 $u = g (x)$ 与函数 $y = f (u)$ 复合而成， $f [g (x)]$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，若 $lim_{x \to x_{0}} g (x) = u_{0}, lim_{u \to u_{0}} f (u) = A$ ，且存在 $δ_{0} > 0$ ,当 $x \in \overset{˚}{U} (x_{0}, δ_{0})$ 时，有 $g (x) \neq u_{0}$ ，则