高等数学 1.4无穷小与无穷大

目录

• 一、无穷小
• 二、无穷大

一、无穷小

定义：如果函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ （或 $x\to \mathrm{\infty }$）时的极限为零，那么称函数 $f(x)$ 为当 $x\to x_0$ （或 $x\to \mathrm{\infty }$）时的无穷小.

特别地，以零为极限的数列 $\{x_n\}$ 称为 $n\to \mathrm{\infty }$ 时的无穷小。

注意：不要把无穷小与很小的数（例如百万分之一）混为一谈，因为无穷小是这样的函数，在$x\to x_0$ （或 $x\to \mathrm{\infty }$）的过程中，这个函数的绝对值小于任意给定的正数 $\epsilon$ ，而很小的数如百万分之一，就不能小于任意给定的正数 $\epsilon$ ，例如取 $\epsilon$ 等于千万分之一，则百万分之一就不能小于这个给定的 $\epsilon$ 。但零是可以作为无穷小的唯一的常数，因为如果 $f(x)\equiv 0$ ，那么对于任意给定的 $\epsilon >0$ 总有 $|f(x)|<\epsilon$ 。

定理：在自变量的同一变化过程 $x\to x_0$ （或 $x\to \mathrm{\infty }$）中，函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充分必要条件是 $f(x)=A+\alpha$ ，其中 $\alpha$ 是无穷小。

二、无穷大

定义：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义（或 $|x|$ 大于某一正数时有定义）。如果对于给定的正数 $M$ （不论它多么大），总存在正数 $\delta$ （或正数 $X$），只要 $x$ 适合不等式 $0<|x-x_0|<\delta$ （或 $|x|>X$）对应的函数值 $f(x)$ 总满足不等式

$$|f(x)|>M$$

那么称函数 $f(x)$ 是当 $x\to x_0$ （或 $x\to \mathrm{\infty }$）时的无穷大。

按函数极限的定义来说，当$x\to x_0$ （或 $x\to \mathrm{\infty }$）时的无穷大的函数 $f(x)$ 的极限是不存在的。但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }(\mathrm{或}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\mathrm{\infty })$$

如果在无穷大的定义中，把 $|f(x)|>M$ 换成 $f(x)>M$ （或 $f(x)<-M$），就记作

$$\underset{x\to x_0(x\to \mathrm{\infty })}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }(\mathrm{或}\underset{x\to x_0(x\to +\mathrm{\infty })}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty })$$

必须注意，无穷大（$\mathrm{\infty }$）不是数，不可与很大的数（如1000万、1亿等）混为一谈。

一般地说，如果 $\underset{x\to x_0}{lim}=\mathrm{\infty }$ ，那么直线 $x=x_0$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形的铅直渐近线。

定理：在自变量的同一变化过程中，如果 $f(x)$ 为无穷大，那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小；反之，如果 $f(x)$ 为无穷小，且 $f(x)\ne 0$ 为无穷大。