《道路工程》——（十）路线坐标与方位角计算

路线坐标与方位角计算

目录

• 路线坐标与方位角计算
  • 用控制点坐标和直线段斜率确定直线段
  • 道路曲线段的方程和坐标计算
    • 确定偏角
    • 圆曲线要素计算
    • 圆曲线各特征点坐标计算
    • 里程桩的编制

高等级公路及城市道路的设计与施工放样，均需用坐标系统，在地形图上，城市三角网导线点，图根导线点均测有坐标，路网规划阶段即定出控制点的坐标及路线走向方位角。沿线建筑物据此也测有坐标，以保证路线与沿线建筑物的相对关系。在设计和测设中常用解析法（即坐标法）定线：通常先在地形图上定线，计算直线段和曲线段的起讫点、转折点和某些特征点的坐标值，然后按坐标进行实地放样。以使点线关系建立在可靠的数据基础上，获得较高的精确度。

用控制点坐标和直线段斜率确定直线段

一条路线是由若干相交的直线段组成的。地形图上定线后，可对每段直线选定两个控制点或一个控制点和该线段的方位角（即从正北 ${\displaystyle X}$ 轴方向顺时针量到测线上的夹角，见图 4-14）。

道路直线方程为

$$\begin{array}{}& y=Kx+b\end{array}$$

式中， ${\displaystyle K}$ 为斜率。

如已知直线上两控制点 ${\displaystyle (x_1,y_1)、(x_2,y_2)}$ ，则斜率：

$$\begin{array}{}& K=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\end{array}$$

${\displaystyle b}$ 为直线与 ${\displaystyle Y}$ 轴的截距：

$$\begin{array}{}& b=y_1-K{x}_1=y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{x}_1\end{array}$$

则直线方程为

$$\begin{array}{}& y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x+y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{x}_1\end{array}$$

道路曲线段的方程和坐标计算

确定偏角

如已知两直线的方程为 ${\displaystyle y=K_{1}x+b_1}$ 和 $y=K_{2}x+b_2$ ，按联立方程，可求得两线交点 ${\displaystyle JD}$ 的坐标为 ${\displaystyle (x_1,y_1)}$ 。

由于 ${\displaystyle K_1=\tan {\theta }_1,K_2=\tan {\theta }_2}$ ，可按公式 ${\displaystyle \theta =\arctan \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$ 算出两直线的方位角，两线的交角即路线的偏角公式如下：

$$\begin{array}{}& \alpha ={\theta }_1-{\theta }_2\end{array}$$

${\displaystyle \alpha }$ 为正值时，路线向左偏； ${\displaystyle \alpha }$ 为负值时，路线向右偏。

圆曲线要素计算

道路的圆曲线要素可先选用 ${\displaystyle R}$ 值，根据几何关系求得（图 4-15）：

切线长

$$\begin{array}{}& T=R\tan \frac{\alpha }{2}\end{array}$$

外距

$$\begin{array}{}& E=R(\sec \frac{\alpha }{2}-1)\end{array}$$

弧长

$$\begin{array}{}& L=\frac{\pi }{180}R\alpha \end{array}$$

也可先按理想线位需要的外距 ${\displaystyle E}$ 或切线长 ${\displaystyle T}$ 为控制，反算 ${\displaystyle R}$ 值。

圆曲线各特征点坐标计算

用 ${\displaystyle JD}$ 坐标及曲线要素即可算得下列特征点坐标。

曲线起点 ${\displaystyle ZY}$ 坐标：

$$\begin{array}{}& \begin{array}{l}{x}_1=x_0-T\cos {\theta }_1\\ y_1=y_0-T\sin {\theta }_1\end{array}\}\end{array}$$

曲线终点 ${\displaystyle YZ}$ 坐标：

$$\begin{array}{}& \begin{array}{l}{x}_2=x_0+T\cos {\theta }_2\\ y_2=y_0+T\sin {\theta }_2\end{array}\}\end{array}$$

曲线中点 ${\displaystyle QZ}$ 坐标：

$$\begin{array}{}& \begin{array}{l}{x}_{\text{中 }}=x_0+E\cos {\theta }_0\\ y_{\text{中 }}=y_0+E\sin {\theta }_0\end{array}\}\end{array}$$

曲线上任意点 ${\displaystyle P}$ 坐标：

$$\begin{array}{}& \begin{array}{l}{x}_P=x_1+d_P\cos {\theta }_P\\ y_P=y_1+d_P\sin {\theta }_P\end{array}\}\end{array}$$

式中 ${\displaystyle {\theta }_P——ZY\mathrm{至}P\mathrm{边}\mathrm{之}\mathrm{方}\mathrm{位}\mathrm{角}}$ ：

$$\begin{array}{}& {\theta }_P={\theta }_i\pm \mathrm{\Delta }P\end{array}$$

${\displaystyle d_P——P\mathrm{点}\mathrm{距}ZY\mathrm{的}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{距}\mathrm{离}}$ ：

$$\begin{array}{}& d_P=2R\sin {\mathrm{\Delta }}_P\end{array}$$

式中 ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_P=\frac{1}{2}(\frac{l_P}{R}\times \frac{{180}^{\circ }}{\pi })=28.65\frac{l_P}{R}}$

式中，${\displaystyle l_P}$ 为 ${\displaystyle P}$ 点距直圆点 ${\displaystyle (ZY)}$ 之圆弧长。

路线上主要桩点的坐标，可依路线前进方向依次计算，实例见图 4-16 中附表。也可以每个转点桩为原点进行计算（图 4-16）。

里程桩的编制

1. 直线段上里程桩的编制
   直线段上里程桩的编制在于求算两点间的间距 ${\displaystyle L_0}$。已知两点坐标，可算出坐标增量 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=x_2-x_1,\mathrm{\Delta }y=y_2-y_1}$ ，再由 ${\displaystyle K=\tan \theta }$ 查得 ${\displaystyle \cos \theta }$ 和 ${\displaystyle \sin \theta }$ ，即可求出：

   $$\begin{array}{}& L=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\cos \theta }\end{array}$$

   也可求出

   $$\begin{array}{}& L=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\sin \theta }\text{（用以校核）}\end{array}$$

   还可求出 ${\displaystyle L=\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}}$

   求得间距后，即可依次编里程桩。

2. 曲线上里程桩额编制
   直线上里程桩编制的 ${\displaystyle JD}$ （转点）桩号后，则

   $$\begin{array}{rl}\text{圆曲线起点桩号}& ZY\text{桩号}=JD\text{桩号}-T\\ \text{圆曲线起点桩号}& YZ\text{桩号}=ZY\text{桩号}+T\\ \text{圆曲线起点桩号}& QZ\text{桩号}=YZ\text{桩号}-\frac{L}{2}\\ \text{验算}& JD\text{桩号}=QZ\text{桩号}+\frac{1}{2}(2T-L)\end{array}$$