摘要：
在研究某些实际问题时，会遇到由几个微分方程联立起来共同确定几个具有同一自变量的函数的情况。这些联立的微分方程称为微分方程组。 如果微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程，那么，这种微分方程组就叫做常系数线性微分方程组。 对于常系数线性微分方程组，我们可以用下述的方法求解它： 第一步 从方 阅读全文
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形如 \[x^n y^{(n)} + p_1 x^{n - 1} y^{(n - 1)} + \cdots + p_{n - 1} x y' + p_n y = f(x) \tag{1} \]的方程（其中 \(p_1,p_2, \cdots, p_n\) 为常数），叫做欧拉方程。 作变换 \(x = 阅读全文
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目录一、\(f(x) = \mathrm{e}^{\lambda x} P_m(x)\) 型二、\(f(x) = \mathrm{e}^{\lambda x} [P_l (x) \cos \omega x + Q_n (x) \sin \omega x]\) 型 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形 阅读全文
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在二阶齐次线性微分方程 \[y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \tag{1} \]中，如果 \(y', y\) 的系数 \(P(x), Q(x)\) 均为常数，即 \((1)\) 式成为 \[y'' + py' + qy = 0 \tag{2} \]其中 \(p, q\) 是常数，那 阅读全文
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目录一、线性微分方程的解的结构*二、常数变易法 方程 \[\cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + P(x) \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x) = f(x) \tag{1} \]叫做二阶线性微分方程。当方程右端 \( 阅读全文
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目录一、\(y^{(n)} = f(x)\) 型的微分方程二、\(y'' = f(x, y')\) 型的微分方程三、\(y'' = f(y, y')\) 型的微分方程 一、\(y^{(n)} = f(x)\) 型的微分方程 微分方程 \[y^{(n)} = f(x) \tag{1} \]的右端仅含有 阅读全文
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@目录一、线性方程*二、伯努利方程 一、线性方程 方程 \[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x) y = Q(x) \tag{1} \]叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数 \(y\) 及其导数是一次方程。如果 \(Q(x) \equiv 0\) ，那么 阅读全文
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目录一、齐次方程*二、可化为齐次的方程 一、齐次方程 如果一阶微分方程可化成 \[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi \left( \cfrac{y}{x} \right) \tag{1} \]的形式，那么就称这方程为齐次方程。 在齐次方程 \[\c 阅读全文
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讨论一阶微分方程 \[y' = f(x, y) \tag{1} \]的一些解法。 一阶微分方程有时也写成如下的对称形式： \[P(x, y) \mathrm{d}x + Q(x, y) \mathrm{d}y = 0 \tag{2} \]在方程 \((2)\) 中，变量 \(x\) 与 \(y\) 阅读全文
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一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程。 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。 一般地，\(n\) 阶微分方程的形式是 \[F(x, y, y', \cdots, y^{(n)}) = 0 \tag{1} \]这里必须 阅读全文
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目录一、平面图形的面积1.直角坐标情形2.极坐标情形二、体积1.旋转体体积2.平行截面面积为已知的立体的体积三、平面曲线的弧长 一、平面图形的面积 1.直角坐标情形 我们已经知道，由曲线 \(y = f(x) (f(x) \geqslant 0)\) 及直线 \(x = a, x = b (a < 阅读全文
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在定积分的应用中，经常采用所谓的元素法。为了说明这种方法，先回顾一下曲边梯形的面积问题。 设 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续且 \(f(x) \geqslant 0\) ，求以曲线 \(y = f(x)\) 为曲边、底为 \([a, b]\) 的曲边梯形的面积 \(A\) 。 阅读全文
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目录一、无穷限反常积分的审敛法二、无界函数的反常积分审敛法三、\(\Gamma\) 函数 一、无穷限反常积分的审敛法 定理1 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上连续，且 \(f(x) \geqslant 0\).若函数 \[F(x) = \int_a^x f(t) 阅读全文
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目录一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分 一、无穷限的反常积分 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, + \infty)\) 上连续，任取 \(t > a\) ，作定积分 \(\displaystyle \int_a^t f(x) \mathrm{d}x\) ，再求极限 \[\lim_ 阅读全文
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目录一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法 一、定积分的换元法 定理 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，函数 \(x = \varphi(t)\) 满足条件： （1）\(\varphi (\alpha) = a, \varphi (\beta) = b\) ； （2） 阅读全文
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目录一、积分上限的函数及其导数二、牛顿-莱布尼茨公式 一、积分上限的函数及其导数 定理1 如果函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，那么积分上限的函数 \[\Phi (x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t \]在 \([a, b]\) 上可导，并且它的 阅读全文
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目录一、定积分的定义1.定义2.定积分的几何意义二、定积分的近似计算1.矩形法2.梯形法3.抛物线法三、定积分的性质 一、定积分的定义 1.定义 定义 设函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上有界，在 \([a, b]\) 中任意插入若干个分点 \[a = x_0 < x_1 < x_ 阅读全文
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第二类换元法是：适当选择变量代换 \(x = \psi(t)\) ，将积分 \(\int f(x) \mathrm{d}x\) 化为积分 \(\int f[\psi(t)]\psi'(t)\mathrm{d}t\) .这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为 \[\int f(x) \mathrm 阅读全文
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设 \(f(u)\) 具有原函数 \(F(u)\) ，即 \[F'(u) = f(u), \quad \int f(u) \mathrm{d}u = F(u) + C \]如果 \(u\) 是中间变量：\(u = \varphi(x)\) ，且设 \(\varphi (x)\) 可微，那么根据复合函 阅读全文
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目录一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间 \(I\) 上，可导函数 \(F(x)\) 的导函数为 \(f(x)\) ，即对任一 \(x \in I\) ，都有 \[F'(x) = f(x) 或 \mathrm{d}F(x) = f 阅读全文