线性代数总结记录七：二次型
一.二次型的概念和变换
1.二次型
二次型，顾名思义，是用于研究二次的方程的，这类方程我们在解析几何中一定见过，如平面空间中的圆锥曲线方程等。这种类型的方程可以写成矩阵的形式，如下：
为了研究方便，我们经常将这里的x和y写成x1和x2，如下：
这个就是二次型的矩阵表示，通常，我们为了研究方便，都取矩阵为对称矩阵。
2.二次型矩阵的几何意义
我们以平面直角坐标系中的圆锥曲线方程为例简单说一说二次型矩阵的几何意义。对于平面中的单位圆，可以写成如下形式：
那么我们如果保持坐标系纵坐标不变，横坐标变压缩为原来一般，那么圆上所有点都位置不变化（由于横轴压缩，横坐标会变为原来两倍）的话圆就被拉伸为了一个椭圆，方程如下：
我们可以观察这两个矩阵，发现标准圆的二次型矩阵是单位阵，而椭圆的二次型矩阵对应着所有横坐标压缩为原来一半的空间变换，恰好和圆到椭圆的变化一致。
这不是个例，在平面中，保持一个圆锥曲线的形状不变，空间做一定的变换，得到的圆锥曲线在变换后的空间中的方程和二次型方程中矩阵的变化一致。因此，对一个圆锥曲线方程，如果要画出其图形，可以先找到变换后的空间，画出图形，再将图形放到标准空间中即可。
同一个圆锥曲线，在不同的坐标系中有不同的二次型矩阵表示，这些所有的二次型矩阵我们称为合同矩阵（同一二次方程在不同基下的各种不同的二次型矩阵）。
二.二次型的标准型
我们在一中举例说明了平面中圆锥曲线如何利用矩阵描述，虽然只描述了拉伸变换，但是旋转变换同理。在一中的所有曲线都是标准型的，什么是标准型？只有平方项的圆锥曲线方程就是标准方程，其对应的二次型矩阵就是标准型，也就是说标准型矩阵只有主对角线上的数字不为0，其他数字都是0，这种矩阵称为对角矩阵。
因此，对于任意一个圆锥曲线，我们便自然想到一个化标准型的方法：对圆锥曲线方程进行配方，找到一组新的基代替原来的基，使圆锥曲线方程中只有平方项。如下面的例子：
显然，这里有一个矩阵能使（x,y）向量右乘它后变为（x+y,y）向量，同时（x,y）T向量左乘它的转置后变为（x+y,y）T，这个向量也很容易求得，就是：
这个矩阵对应了一个线性变换的过程，原来的圆锥曲线图形所在平面直角坐标系在经过了这个矩阵对应的线性空间变换后，就能使新的圆锥曲线的长轴和x轴重合，短轴和y轴重合（实际上经过变换后的圆锥曲线在统一新的坐标系的x轴和y轴单位长度后已经是一个圆了）。
