线性代数总结记录三:行列式运算

一.概述

　　在上一篇总结中,主要记录了矩阵用于线性方程组消元的情况,并且提到:方程组若有唯一解,那么方程组对应系数矩阵的秩(有效的方程个数)一定等于未知数的个数;当方程组中方程的个数多于未知数的个数时,多出来的方程一定可以用其他方程线性表示,因此这些多出来的方程是无效的(当方程组的秩等于未知数个数时,再增加线性方程并不会增加方程组的秩);当方程组的有效方程的个数小于未知数个数时(矩阵的秩小于未知数个数),方程组有无数解.

　　根据上面的总结我们可以知道,方程组的未知数个数一定大于等于系数矩阵的秩.那么我们能不能快速判断线性方程组是否是唯一解(即方程组的秩等于未知数的个数或称为满秩)呢?这就是行列式的一个很重要的作用:判断方阵是否满秩.

二.行列式运算

　　1.行列式运算

　　　　行列式的运算由线性方程组的求解结果推导得到,因此这里也从低阶行列式进行推导.

　　2.二阶行列式运算

　　　　下面是一个有唯一解的一般的二元线性方程组,可以得到它的解:

　　　　观察这个解,可以看到分母是完全一样的,分子分别是将分母中相应未知数的系数替换为了等号右边的常量得到.显然,如果分母为0的话这个方程组应该是无解或有无数解,分母不为0的话这个方程组有唯一解,而分母为0恰好对应着系数成比例的情况(二元线性方程组对应的系数矩阵不满秩).因此我们可以将这个分母运算提炼出来,用以下方法规定它的运算:

　　　　这就是二阶行列式运算,可以看到行列式中数字排列和系数矩阵中数字排列相同.

　　3.三阶行列式运算

　　　　二阶行列式的运算可以同样推广到三阶,只需要解三元一次方程组即可.这里直接给出定义:

　　　　可以看到,三阶行列式的展开项一共有六项,每一项都是由完全不同行列的三个数字想乘得到的.如果将这一项的行数按照顺序排列,它们的列数排列的逆序数的为奇数时这一项为负,为偶数时这一项为正,因此每一项的符号都取定为-1的列数排列逆序数次方.而且我们可以根据这个规律推广,三阶行列式一共有3的全排列项(A³₃=6),因为行数按照顺序排列后,列数可以任意排列,总共有3的全排列种排列方式,这就是项数.

　　4.n阶行列式运算

　　　　对于n阶行列式的运算,和三阶行列式的情况相同,有n的全排列项,每一项的符号为-1的列数排列逆序数次方.

　　5.行列式的各种性质

　　　　对于n阶行列式的性质,观察行列式的展开式就可以很容易理解,如交换两行相当于交换展开式中每一项的两个因子,但是会导致列数的逆序数奇偶性发生变化,因此符号取反.需要注意的是,行列式的本质是一个数字,它和矩阵有着根本性的不同.

　　6.按照一行展开

　　　　按照一行展开应该也很容易理解.观察三阶行列式的展开,如果按照第一行的三个数字进行提公因式变换,就可以得到按行展开的表达式:

　　　　按行展开后的行列式等于这一行的每个数字乘上它的代数余子式.

　　7.拉普拉斯定理

　　　　同样地,我们也可以对展开式进行一些更复杂的提公因式运算,这就构成了拉普拉斯定理.可以自己尝试证明.当然,教材中也有拉普拉斯定理更为严谨简洁的证明.

三.行列式计算的意义

　　目前来说,行列式计算最重要的意义就是计算上一篇总结中提到的系数矩阵是否满秩.当行列式的值为0时,系数矩阵不满秩;当行列式的值不为0时,系数矩阵满秩.