线性代数总结记录二:线性方程组的解
一.概述:
矩阵可以看做是若干个列向量的组合,同时也可以看做是若干线性方程组的系数组合.
二.矩阵和线性方程组的对应方式:
1.线性方程组:
线性方程组是指一个n元方程组,其中所有未知量的次数都是1.线性方程可以整理为如下形式:
其中an\an-1...a1\a0是系数,xn\xn-1...x1是未知数.当等号右边常数a0=0时这个方程可以称为齐次线性方程,反之称为非齐次线性方程.以二维空间和三维空间为例,一个二维空间中的线性方程(二元一次方程)的图形是一条二维空间中的直线,一个三维空间中的线性方程(三元一次方程)的图形同样是三维空间中的一条直线.因此,我们可以猜测更多维的空间中的线性方程也是一条直线,这里不作阐述.所以这类未知数次数均为1的方程称为线性方程.线性方程组由若干个线性方程组成,注意:这些线性方程的数量和未知数的数量可以不同.
2.解线性方程组:消元
解线性方程组的基本方法就是消元法.消元的基本方法有代入消元法和加减消元法,现在我们尝试整理一个标准的消元过程,可以用于解所有的线性方程组,如下图中的例子:
第一步交换前两个方程,第二步将第一个方程乘上系数分别加到后两个方程上,使后两个方程的x系数为0,第三步整理第二个方程,第四步将第二个方程乘上系数加到第三个方程上,使第三个方程y的系数为0,第五步整理第三个方程.可以看到这时方程的未知数个数依次递减,第三个方程已经解出了未知数z的值,之后将方程从下往上依次代入即可.
总结:在消元的过程中,方程的顺序可以互相交换,方程整体也可以乘上一个不为0的系数.在消元过程中实际发生消元行为的是第二\四两步的加减消元过程.
3.使用矩阵进行消元
应用消元法可以解几乎所有的线性方程组,但是我们发现在刚才的消元过程中,方程中的x\y\z这些未知数的位置并未发生变化,实际参与消元的是这些未知数的系数和常数项,因此我们可以省略这些未知数,只写未知数系数和常数.实际上这些未知数系数和常数就可以组成一个矩阵.如果线性方程组的所有方程都是其次方程(常数项为0),那么这个方程组就是其次线性方程组.而齐次线性方程组中常数项也可以省略不写.如果组成方程组的方程中有非齐次方程(常数项不为0),这个方程组就是非齐次线性方程组,这个方程组的常数项在矩阵中必须体现.因此我们一般将方程组的所有系数组成一个矩阵,对于非齐次线性方程组,在这个系数矩阵的右侧增加一列,称为增广矩阵.上述消元过程使用矩阵描述如下图所示:
三.方程组是否有解
我们以三元一次方程组的解为例.如果是一个三元一次齐次线性方程,我们知道它如果要有唯一解,应该有三个方程.将三个方程的系数写成矩阵应该是一个3X3的系数矩阵,如下图的矩阵就是一个三元一次方程组消元前后的系数矩阵:
上面的方程组就有唯一解.如果有一个方程在经过消元后系数矩阵的最后一行全为0,根据消元的过程我们知道,设三个方程分别为A\B\C,那么一定有mA+nB+C=0,其中在给第三个方程消元时,会将前两个方程分别乘上一个系数加到第三个方程上,m和n就是乘上的系数.或者换一个说法,出现了最后一行全为0的情况时,三个方程中的某个方程一定可以由其他两个方程乘上一个系数再加减得到,可以称为一个方程可以由其他两个方程线性表示,或者说虽然给定的是三个方程,但是有效的方程实际上只有两个.在矩阵中,有一个概念是矩阵的秩,这里系数矩阵的秩就等于有效方程的个数.
显然,对于齐次方程组而言,当系数矩阵的秩等于未知数个数时,消元后的情况就如上图所示,方程组有唯一解;当系数矩阵的秩小于未知数个数时,有效方程个数小于未知数个数,方程组有无数解;系数矩阵的秩不可能大于未知数的个数(如果将系数矩阵看做由行向量组成,n个未知数的方程的系数最多n个,组成一个n维行向量.根据向量的知识,n个两两不共线的n维向量可以线性表示所有其他n维向量,因此有效方程个数比未知数多时,多余的有效方程一定可以由其他有效方程线性表示,这些多余的方程也就不再有效).
对非齐次线性方程组而言,情况则更为复杂一些,需要考虑增广矩阵的情况.由于增广矩阵一定比系数矩阵多一列,因此增广矩阵的秩可能比系数矩阵大1或相同.当增广矩阵的秩比系数矩阵的秩大1时,消元后的矩阵去除所有全0行一定有一行的系数部分全为0,常数项不为0,如下图所示,这样的矩阵对应的方程组必然无解;而增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩时则不会出现这种情况,因此解的情况和齐次线性方程组的规则相同,考虑系数矩阵即可.
四.线性方程组的解
求解线性方程组时,首先判断是否有解及是唯一解还是无数解.当方程组有无数解时,齐次线性方程组需要求通解(通解的个数和方程组的秩相同),非齐次线性方程组需要求一组特解和所有通解,关于特解和通解的求解过程这里不详细描述.
