UVA11762 Race to 1

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题意：给一个Ｎ，在不大于Ｎ的素数中选一个p，如果p是N的约数，则将N变为N/p。否则不变，问最后N变为１的次数的期望。

思路：设E[X]为x变成1的期望，num代表小于x的质数数量，num1代表小于x并且能被x整除的素数数量。

　　则有$E[X]=\frac{1}{num}\sum E[x/p]+\frac{num-num1}{num}E[x]+1$

　　移项可得$E[x]=\sum \frac{1}{num1}E[x/p]+\frac{num}{num1}$

　　注意这里不要直接从1到n的遍历，因为有很多数在n的变化中是不会出现的，变化是没有意义的。所以需要用到记忆化搜索。

　　甚至由于每个数的状态只和比自己小的数有关，所以记忆化数组都不需要清空，这一组用的状态下一组还能继续用。

#pragma GCC optimize (2)
#pragma G++ optimize (2)
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include<bits/stdc++.h>
#include<unordered_map>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define dep(i,b,a) for(int i=b;i>=a;--i)
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pb push_back
#define pii pair<int,int >
using namespace std;
typedef long long ll;
ll rd()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int maxn=1000010;
double dp[maxn];
vector<int >prime;
int vis[maxn+10];
void get_prime(){
    vis[1]=1;
    for(int i = 2; i <= maxn; ++i){
        if(!vis[i]) prime.push_back(i);
        for(int j = 0; j < prime.size() && prime[j]*i <= maxn; ++j){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j] == 0) break;
        }
    }
}
int n;
double dfs(int x){
    if(x==1)return 0;
    if(dp[x]>0)return dp[x];
    double num=0,num1=0;
    for(int i=0;i< prime.size()&&prime[i]<=x;i++){
        if(x%prime[i]==0){
            num1++;
            dp[x]+=dfs(x/prime[i]);
        }
        num++;
    }
    dp[x]+=num;
    dp[x]/=num1;
    return dp[x];
}
int main(){
    get_prime();
    int T,cat=1;
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n;
        printf("Case %d: %.10lf\n",cat++,dfs(n));
    }
} 
/*
3
1
3
13
*/