柱函数-贝塞尔函数

柱函数-贝塞尔函数

• 柱函数的提出
• Bessel方程的解
• Bessel函数的性质
• 其他柱函数
• 渐近公式

柱函数的提出

考虑固定边界的圆膜振动, 可以归结为定解问题
$$\{\begin{array}{ll}{u}_u=a^2\left(u_{xx}+u_{yy}\right)& \left(0⩽x^2+y^2<l^2,t>0\right)\\ {u|}_{x^2+y^2=l^2}=0& (t⩾0),\\ u(x,y,0)=\phi (x,y)& ,u_l(x,y,0)=\psi (x,y)\left(0⩽x^2+y^2⩽l^2\right),\end{array}$$
在柱坐标下定解问题变为
$$\{\begin{array}{l}{r}^2{R}^{\prime \prime }(r)+r{R}^{\prime }(r)+\left[(kr{)}^2-v^2\right]R(r)=0\\ {\Phi }^{\prime \prime }(\phi )+n^2\Phi (\phi )=0,\Phi (\phi +2\pi )=\Phi (\phi ).\\ Z^{\prime \prime }+\mu Z(z)=0\end{array}$$
$k^2=\lambda -\mu$，$\lambda$在分离时间时引入，$\mu$在分离$z$变量时引入，$\mu =0$表示系统在z方向平移不变，$\lambda =0$表示稳定场。

在$k^2=\lambda -\mu \ne 0$时的径向方程为bessel方程。

令$kr=x$，$R(r)=y(x)$，$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+\left(x^2-v^2\right)y=0$，$v$阶Bessel方程

$y^{\prime \prime }+\frac{1}{x}{y}^{\prime }+\left(1-\frac{v^2}{x^2}\right)y=0$

Bessel方程的解

$x_0$是方程的正则奇点，为了使最后不会得到奇奇怪怪x的小数项，级数展开时都乘以$x^{\rho }$，则$y(x)=x^{\rho }{\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_k(x-x_0{)}^k$

$\rho$为指标，求$\rho$的方程–指标方程

将$y={\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_k{x}^{k+\rho }$带入Bessel 方程并化简得到

$\{\begin{array}{l}\left({\rho }^2-{\nu }^2\right)c_0=0,\\ \left[(\rho +1{)}^2-{\nu }^2\right]c_1=0,\\ \left[(\rho +k{)}^2-{\nu }^2\right]c_k+c_{k-2}=0,k=2,3,4,\cdots .\end{array}$

由于$c_0=c_1=0$只能得到平凡解，故$c_0\ne 0,c_1\ne 0$，可以舍去，因此可以得到指标方程为${\rho }^2-v^2=0$，所以${\rho }_1=v$或${\rho }_2=-v$。

当${\rho }_1=v$时，$c_0\ne 0$，$c_1=0$，令$c_{2n}=(-1{)}^n\frac{c_0\Gamma (\nu +1)}{2^{2n}n!\Gamma (\nu +n+1)}$，$c_0=\frac{1}{2^v\Gamma (\nu +1)}$。

【这样取$c_0,c_{2n}$是为了方便母/子函数表达方便】

则第一个解$y_1(x)=J_v(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{1}{k!\Gamma (v+k+1)}(\frac{x}{2}{)}^{2k+v}$，$J_v(x)$称作$v$阶Bessel函数。

若${\rho }_2=-v$，则称作$-v$阶Bessel 函数，$y_2(x)=J_{-v}(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{1}{k!\Gamma (-v+k+1)}(\frac{x}{2}{)}^{2k-v}$

$J_v(x),J_{-v}(x)$称为第一类柱函数

①若$v\ne n$(整数) ，$J_v(x)$与$J_{-v}(x)$是线性无关

$y(x)=a_v{J}_v(x)+b_v{J}_{-v}(x)$

②若$v=n$(整数) ，$J_{-v}(x)=(-1{)}^n{J}_v(x)$

$J_n$与$J_{-n}$线性相关，须构建其他与$J_n(x)$线性无关的函数。

Bessel函数的性质

贝塞尔函数的本征值：

$\{\begin{array}{l}r{R}^{\prime \prime }(r)+r{R}^{\prime }(r)+\left[(kr{)}^2-n^2\right]R(r)=0\\ R(r{)}_{(r\to 0)}有限\\ {\left[\alpha \frac{dR}{dr}+\beta R\right]|}_{r=a}=0\end{array}$

$R_m^n(P)=R(k_m^{n}P)$

$R(r)=J_n(kr)$，$k^2=\lambda -\mu$，令$x=kr$

以$\alpha =0$这种第一类齐次边界条件为例

${J_n(kr)|}_{r=a}=J_n(ka)=0$，零根$x_m^n$是使$J_n(ka)=0$为$n$阶贝塞尔方程的第$m$个零根，$\{\begin{array}{l}{k}_m^{a}a=x_m^n\\ m=1,2,\cdots \end{array}$,$k_m^n$为$n$阶贝塞尔方程的第$m$个本征值，第$m$个本征函数$J_n(k_m^{n}r)=J_n(\frac{x_m^n}{\alpha }r)$

零点性质：

$J_n(x)$ 的零点都是孤立的.
$J_n(x)$ 的零点除 $x=0$ 而外都是单零点.
$J_0(x)$ 在 $k\pi <x<(k+1)\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$ 各区间内都有零点
$J_n(x)$ 的任何两个相邻零点之间, 有而且仅有 $J_{n+1}(x)$ 的一个零点

递推公式：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{\nu }{J}_v(x)\right]=x^v{J}_{v-1}(x).$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{-v}{J}_v(x)\right]=-x^{-v}{J}_{v+1}(x).$

$J_{v-1}(x)+J_{v+1}(x)=\frac{2\nu }{x}{J}_v(x)$,
$J_{v-1}(x)-J_{v+1}(x)=2J_v^{\prime }(x).$

例如：$v=0$时，$J_{-1}(x)-J_1(x)=2J_0^{\prime }(x)$，又$J_{-n}=(-1{)}^n{J}_n$，则$J_0^{\prime }(x)=-J_1(x)$，因此$\int J_1(x)dx=-J_0(x)$

当$v=1$时，$[x{J}_1(x){]}^{\prime }=x{J}_0(x)$ 或 $x{J}_1(x)={\int }_0^{x}t{J}_0(t)dt$

正交归一化关系：

$n$阶贝塞尔函数序列 $J_n\left(k_1^{n}r\right),J_n\left(k_2^{n}r\right),\cdots$, $J_n\left(k_i^{n}r\right),\cdots$ 在区间 $(0,l)$ 上带权$r$正交归一, 即
$${\int }_0^l{J}_n\left(k_i^{n}r\right)J_n\left(k_j^{n}r\right)r\mathrm{d}r=\frac{a^2}{2}{J}_{n+1}^2\left(k_i^{n}a\right){\delta }_{ij},i,j=1,2,3,\cdots i\ne j,$$
【$r$为传输因子】

贝塞尔函数的母函数：
$$e^{\frac{x}{2}\left(z-\frac{1}{z}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(x)z^n=\sum _{n=0}^{\infty }{J}_n(x)z^n+\sum _{k=0}^{\infty }{J}_{-k}(x)z^{-k}$$
故$e^{\frac{x}{2}\left(z-\frac{1}{z}\right)}$称为贝塞尔函数的母函数。

$e^{\frac{x}{2}z}{\sum }_{l=0}^{\infty }\frac{1}{l!}{\left(\frac{xz}{2}\right)}^l,|z|<\infty$
$e^{-\frac{x}{2z}}={\sum }_{m=0}^{\infty }\frac{1}{m!}{\left(\frac{-x}{2z}\right)}^m,|z|>0$
$e^{\frac{x}{2}z}\cdot e^{-\frac{x}{2z}}=e^{\frac{x}{2}\left(z-\frac{1}{z}\right)}={\sum }_{i=0}^{\infty }{\sum }_{j=0}^{\infty }\frac{{\left(\frac{x}{2}z\right)}^i{\left(\frac{-x}{2t}\right)}^j}{i!j!}={\sum }_{i=0}^{\infty }{\sum }_{l=0}^{\infty }\left(\frac{\frac{(-1{)}^j}{2^{i+j}}{x}^{i+j}}{i!j!}\right)t^{i-j}$

当$i-j=n$时，该项对应于${\sum }_{n=0}^{\infty }{J}_n(x)t^n$，当$i-j=-k$时，该项对应于${\sum }_{k=0}^{\infty }{J}_{-k}(x)t^{-k}$。(n>0，k>0)

$e^{\frac{x}{2}\left(z-\frac{1}{z}\right)}$ 令$z=i$，$e^{\frac{x}{2}(i-\frac{1}{i})}=e^{ix}=\cos x+i\sin x={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(x)i^n=J_0(x)+2{\sum }_{n=1}^{\infty }{i}^n{J}_n(x)$

令$z=i{e}^{i\theta }$，[$i{e}^{i\theta }-\frac{1}{i{e}^{i\theta }}=2i\cos \theta$]，${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\cos \theta }=\cos (x\cos \theta )+i\sin (x\cos \theta )={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(x){\mathrm{i}}^n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\theta }=J_0(x)+2{\sum }_{n=1}^x{i}^n{J}_n(x)\cos n\theta$【函数${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\cos \theta }$的傅氏余弦展开式】

当$x$为实数时，在物理上可以将上式解释为用柱面波去表示平面波，并可写为

$\cos (x\cos \theta )=J_0(x)+2{\sum }_{m=1}^{\infty }(-1{)}^m{J}_{2m}(x)\cos 2m\theta$
$\sin (x\cos \theta )=2{\sum }_{m=0}^{\infty }(-1{)}^m{J}_{2m+1}(x)\cos (2m+1)\theta$

同理，令$z=e^{i\theta }$，[$e^{i\theta }-\frac{1}{i{e}^{\theta }}=2i\sin \theta$]，${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\cos \theta }=\cos (x\sin \theta )+i\sin (x\sin \theta )={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(x)(\cos \theta +i\sin \theta )$

当$\theta =0$或$\theta =\pi$可得到正余弦的贝塞尔展开式。

贝塞尔函数的积分表达式

$$J_n(x)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{C:}\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{2}\left(\zeta -\frac{1}{\zeta }\right)}}{{\zeta }^{n+1}}\mathrm{d}\zeta \text{. }$$
其中 $C$ 是围绕 $z=0$ 点的任意一条闭曲线. 如果取 $C$ 为单位员, 则 在 $C$ 上, 有 $\zeta ={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$. 从而得到
$$\begin{array}{rl}{J}_n(x)& =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{-\pi }^{\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\mathrm{in}\theta }{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right)}^{-n-1}\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{i}x\mathrm{cin}\theta -n\theta )}\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (x\sin \theta -n\theta )\mathrm{d}\theta ,n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots ,\end{array}$$

更一般地，有

$J_{\nu }(x)=\frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\nu }}{\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)\Gamma \left(\nu +\frac{1}{2}\right)}{\int }_0^{\pi }\cos (x\cos \theta ){\sin }^{2v}\theta \mathrm{d}\theta$
$\left(\mathrm{Re}\nu >-\frac{1}{2}\right)$,
$$J_v(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (x\sin \theta -\nu \theta )\mathrm{d}\theta -\frac{\sin \nu \pi }{\pi }{\int }_0^{+\infty }{e}^{-x\sin h\zeta -v\xi }\mathrm{d}\xi$$
$(\mathrm{Re}x>0).$

显然,在此式中令$v=$整数, 则得整数阶贝塞尔函数的积分表达式.

贝塞尔函数的变形

先来看一下最基本的变形:
$$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+\left({\lambda }^2{x}^2-v^2\right)y=0$$
令$t=\lambda x$，则
$$t^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+t\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\left(t^2-v^2\right)y=0$$
有通解：
$$y(t)=C_1{J}_v(t)+C_2{Y}_v(t)$$

代回 $x=\lambda t$, 就有:
$$y(x)=C_1{J}_v(\lambda x)+C_2{Y}_v(\lambda x)$$

半奇数阶贝塞尔函数：

$J_{\frac{1}{2}}(x)={\left(\frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}{\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!\Gamma \left(\frac{3}{2}+k\right)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k}=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x$ ,

$J_{-\frac{1}{2}}(x)={\left(\frac{x}{2}\right)}^{-\frac{1}{2}}{\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!\Gamma \left(\frac{1}{2}+k\right)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k}=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x.$,

再由递推公式可知：
$$\begin{gathered} J_{\frac{2m+1}{2}}(x)=(-1{)}^m\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{2\frac{2m+1}{2}}{2}\frac{{\mathrm{d}}^m}{(x\mathrm{d}x{)}^m}\left(\frac{\sin x}{x}\right). \\ {J}_{-\frac{2m+1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{x}^{\frac{2m+1}{2}}\frac{{\mathrm{d}}^m}{(x\mathrm{d}x{)}^m}\left(\frac{\cos x}{x}\right). \end{gathered}$$

其他柱函数

第二类贝塞尔函数：至此我们已经理清了贝塞尔函数的基本性质，可以对圆膜问题进行处理(处理过程见特征值部分)。然而第一类贝塞尔函数只能描述$n=v\notin N$时的解，因此我们需要引入第二类贝塞尔函数： 【第二类Bessel函数也称作诺依曼函数，也记作$N_v(x)$】
$$Y_{\nu }(x)=\frac{\cos \nu \pi J_{\nu }(x)-J_{-\nu }(x)}{\sin \nu \pi }$$
当$v$为整数$n$时，上式又成为待定式，这时, 我们定义
$$Y_n(x)=\underset{\nu \to n}{\lim }{Y}_{\nu }(x).$$
运用洛必达法则算出${\lim }_{\nu \to n}{Y}_{\nu }(x)={\lim }_{\nu \to n}\frac{-\pi \sin \nu \pi J_{\nu }(x)+\cos \nu \pi \frac{\partial J_{\nu }(x)}{\partial \nu }-\frac{\partial J_{-\nu }(x)}{\partial \nu }}{\pi \cos \nu \pi }$，故
$$Y_n(x)=\frac{1}{\pi }{\left[\frac{\partial J_{\nu }(x)}{\partial \nu }-(-1{)}^n\frac{\partial J_{-\nu }(x)}{\partial \nu }\right]}_{\nu =n}$$
由计算可知$Y_{-n}(x)=(-1{)}^n{Y}_n(x)$【只对整数阶有效】

$Y_n(x)$是贝塞尔方程的解，将其带入贝塞尔方程结果为$0$。将$J_v$、$J_{-v}$带入$Y_n(x)$中，则
$$\begin{array}{rl}{Y}_n(x)=& \frac{2}{\pi }{J}_n(x)\ln \frac{x}{2}-\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{-n+2k}\\ & -\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!(n+k)!}[\psi (k+1)+\psi (n+k+1)]{\left(\frac{x}{2}\right)}^{n+2k},\\ & n=0,1,2,\cdots ,\end{array}$$
其中
$$\psi (1)=-\gamma ,\psi (k+1)=-\gamma +1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{k}.$$
欧拉常数$\gamma =0.577216\cdots$, 当 $n=0$ 时, 须从$Y_n(x)$表达式中去掉右端第二项有限和。
因为当$n=0$ 时, $J_0(0)=1$，当 $n>0$ 时, $J_n(0)=0$, 故可以看出函数 $Y_n(x)$ 在$x=0$点的奇异性为
$$\begin{array}{c}{Y}_0(x)\sim \frac{2}{\pi }\ln \frac{x}{2},\\ Y_n(x)\sim \frac{-(n-1)!}{\pi }{\left(\frac{x}{2}\right)}^{-n},\end{array}$$
从而得知 $J_n(x)$ 与 $Y_n(x)$ 线性无关。

如果要求的是有界解, $r<a$，则不用第二类贝塞尔函数 $Y_n(x)$，因为 $Y_n(x)$ 在圆膜的圆心$x=0$处趋于无穷大。但如果定解问题的区域不包含 $x=0$, 例如空心圆柱体的情形, 或者问题的物理背景就需要有一定的奇异性的解, 例如线热源、线电源的情形, 那就必须考虑第二类贝塞尔函数。
第二类贝塞尔函数具有与第一类贝塞尔函数相同的递推公式。

同时半奇数阶第二类贝塞尔函数也可以用初等函数表示：$Y_{\frac{1}{2}}(x)=-J_{-\frac{1}{2}}(x)=-\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x$,
$Y_{-\frac{1}{2}}(x)=J_{\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x.$

第三类贝塞尔方程：为满足特定的渐近行为而引入，又称汉克尔(Hankel)函数。

$\{\begin{array}{l}{H}_v^{(1)}(x)=J_v(x)+\mathrm{i}{Y}_v(x)\\ H_{\nu }^{(2)}(x)=J_{\nu }(x)-\mathrm{i}{Y}_v(x)\end{array}$

柱函数$Z_v(x)=\{\begin{array}{l}{J}_v(x)\\ Y_v(x)\\ H_v(x)\end{array}$

柱函数$Z_v(x)$都满足递推关系，

球贝塞尔函数 $\Delta U+\lambda U=0({\Delta }_3={\nabla }^2)$

$\{\begin{array}{l}{r}^2{R}^{\prime \prime }(r)+2r{R}^{\prime }(r)+[(kr{)}^2-v(v+1)]R(r)=0\\ \left(1-x^2\right)y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+\left[n(n+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]y=0\\ {\Phi }^{\prime \prime }(\phi )+m^2\Phi (\phi )=0\\ \Phi (\phi +2\pi )=\Phi (\phi )\end{array}$

上式已进行过变量代换$x=\cos \theta ,y(x)=\Theta (\cos \theta ),\lambda =k^2$，【y(x)中n即为球贝塞尔函数的阶数】

令$kr=x$，则$x^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\left[x^2-\nu (\nu +1)\right]y=0$，

作变换 $y(x)=x^{-\frac{1}{2}}v(x)$, 则 $v(x)$ 满足 $\nu +\frac{1}{2}$ 阶贝塞尔方程
$$x^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}v}{\mathrm{d}{x}^2}+x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}+\left[x^2-{\left(\nu +\frac{1}{2}\right)}^2\right]v=0\text{, }$$
因此,
$$\begin{array}{rl}& x^{-\frac{1}{2}}{J}_{\nu +\frac{1}{2}}(x),x^{-\frac{1}{2}}{Y}_{\nu +\frac{1}{2}}(x),\\ & x^{-\frac{1}{2}}{H}_{\nu +\frac{1}{2}}^{(1)}(x),x^{-\frac{1}{2}}{H}_{\nu +\frac{1}{2}}^{(2)}(x)\end{array}$$
都是球贝塞尔方程的解。但在现今的物理学中, 通常是再乘上一个因子$\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ 之后, 才把它们称为球贝塞尔函数，而且记为
$$\begin{array}{rl}{j}_v(x)& =\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{J}_{\nu +\frac{1}{2}}(x),\\ n_{\nu }(x)& =\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{Y}_{\nu +\frac{1}{2}}(x),\\ h_{\nu }^{(1)}(x)& =\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{H}_{\nu +\frac{1}{2}}^{(1)}(x),\\ h_{\nu }^{(2)}(x)& =\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{H}_{\nu +\frac{1}{2}}^{(2)}(x)\end{array}$$
显然,
$$\begin{array}{rl}& h_{\nu }^{(1)}(x)=j_{\nu }(x)+\mathrm{i}{n}_{\nu }(x),\\ & h_{\nu }^{(2)}(x)=j_{\nu }(x)-\mathrm{i}{n}_{\nu }(x).\end{array}$$
当 $\nu$ 等于整数时, 球贝塞尔函数也可以用初等函数来表示, 例如
$$j_0(x)=\frac{\sin x}{x},j_{-1}(x)=\frac{\cos x}{x}$$
最后上式的解为：$y_v(x)=c_v{J}_{v+\frac{1}{2}}(x)+d_v{N}_{v+\frac{1}{2}}(x)$，即为
$$\begin{array}{rl}{R}_v(y)=& c_v\frac{J_{v+\frac{1}{2}}(kr)}{\sqrt{kr}}+d_v\frac{N_{v+\frac{1}{2}}(kr)}{\sqrt{kr}}\\ =& c_v^{\prime }{j}_{v+\frac{1}{2}}(kr)+d_v^{\prime }{n}_{v+\frac{1}{2}}(kr)\\ =& \{\begin{array}{l}{c}_v^{\prime }{j}_{v+\frac{1}{2}}(kr)\text{球内}(d_v^{\prime }=0)\\ d_v^{\prime }{n}_{v+\frac{1}{2}}(kr)\text{球外}(c_v^{\prime }=0)\\ c_v^{\prime }{j}_{v+\frac{1}{2}}(kr)+d_v^{\prime }{n}_{v+\frac{1}{2}}(kr)\text{两球面间}\end{array}\end{array}$$
虚宗量的贝塞尔函数：
$$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+\left({\lambda }^2{x}^2-v^2\right)y=0$$
令$x=ix$，则
$$t^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+t\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}-\left(x^2+v^2\right)y=0$$
它的解为 $J_{\nu }(\mathrm{i}x)$，自然 $i^{-\nu }{J}_{\nu }(ix)$ 也是它的解。若记
$$I_{\nu }(x)={\mathrm{i}}^{-\nu }{J}_{\nu }(\mathrm{i}x),$$
则
$$I_{\nu }(x)={\left(\frac{x}{2}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!\Gamma (\nu +k+1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k}.$$
特别地,
$$I_0(x)=J_0(\mathrm{i}x)=1+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2+\frac{1}{(2!{)}^2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^4+\frac{1}{(3!{)}^2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^6+\cdots .$$
称 $I_{\nu }(x)$ 为第一类变形 (或虚变量) 贝塞尔函数，
$$K_{\nu }(x)=\frac{\pi }{2}\frac{I_{-\nu }(x)-I_{\nu }(x)}{\sin \nu \pi }$$
$K_{\nu }(x)$为第二类变形贝塞尔函数。

若圆柱体的上下底面具有齐次边界条件(上下为0)，而圆柱侧面有非齐次边界条件，则径向方程一般是虚宗量Bessel方程，解函数是虚宗量柱函数。

渐近公式

在 $x\to +\infty$ 时

第一类贝塞尔函数的渐近公式：$J_{\nu }(x)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos \left(x-\frac{\nu \pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)(|x|\to +\infty )$

第二类贝塞尔函数的渐近公式：$Y_{\nu }(x)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin \left(x-\frac{\nu \pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)$

第二类贝塞尔函数的渐近公式：$H_{\nu }^{(1)}(x)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}{\mathrm{e}}^{i\left(x-\frac{\nu \pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)}$
$H_{\nu }^{(2)}(x)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}{\mathrm{e}}^{-i\left(x-\frac{\nu \pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)}$

变形贝塞尔函数的渐近公式
$$\begin{array}{rl}& I_{\nu }(x)\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi x}}{\mathrm{e}}^x,\\ & K_v(x)\sim \sqrt{\frac{\pi }{2x}}{\mathrm{e}}^{-x}.\end{array}$$

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