数学物理方程之通解

波动方程 $u_{tt}=a^2u_{xx}$

齐次波动方程分离变量得到

$\left\{\begin{array}{l}\frac{T^{\prime \prime}}{a^{2} T}=\frac{X^{\prime \prime}}{X}=-\lambda \\ X^{\prime \prime}+\lambda X=0 \\ T^{\prime \prime}+\lambda a^{2} T=0\end{array}\right.$

在不同边界条件下有不同的特征值和特征函数

$\left\{\left.\begin{array}{l}\lambda_{n}=\frac{n^{2} \pi^{2}}{l^{2}} \\ X_{n}(x)=\sin \sqrt{\lambda_{n}} x\end{array} ,\quad \left.u\right|_{x=0}\right.=0=\left.u\right|_{x=l}\right.$

$\left\{\left.\begin{array}{l}\lambda_{n}=\left[\frac{(2n+1)\pi}{{2l}}\right]^{2} \\ X_{n}(x)=\sin \sqrt{\lambda_{n}} x\end{array}, \quad \left.u\right|_{x=0}\right.=0=\left.u_x\right|_{x=l}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\lambda_{n}={n}=\left[\frac{(2n+1)\pi}{{2l}}\right]^{2} \\ X_{n}(x)=\cos \sqrt{\lambda_{n}} x\end{array}, \quad \left.u_x\right|_{x=0}\right.=0=\left.u\right|_{x=l}$

$\left\{\begin{array}{l}\lambda_{n}=\frac{n^{2} \pi^{2}}{l^{2}} \\ X_{n}(x)=\cos \sqrt{\lambda_{n}} x\end{array}, \quad \left.u_x\right|_{x=0}\right.=0=\left.u_x\right|_{x=l}$

$\int_0^l X_n(x)X_m(x)dx=\frac{l}{2}$

【也可令 $X_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sin{\sqrt{\lambda_{n}}x}$ 或 $X_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\cos{\sqrt{\lambda_{n}}x}$ 以满足归一化条件 $\int_0^l X_n(x)X_m(x)dx=1$ ，】

则波动方程的解为 $t)=\sum_{n=1}^{+\infty} X_{n}(x) T_{n}(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(C_{n} \cos \sqrt{\lambda_{n}} a t+D_{n} \sin \sqrt{\lambda}_{n} a t\right) X_{n}(x)$

其中 $\left\{\begin{array}{l}C_{n}=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} \varphi(x) X_{n}(x) d x \\ D_{n}=\frac{2}{l}\cdot\frac{1}{\sqrt{\lambda_n}a} \int_{0}^{l} \psi(x) X_{n}(x) d x\end{array}\right.$ ， $\varphi(x)、\psi(x)$ 分别为初始条件中的初位移、初速度。

扩散方程 $u_t=a^2u_{xx}$

齐次扩散方程分离变量得到

$\left\{\begin{array}{l}\frac{T^{ \prime}}{a^{2} T}=\frac{X^{\prime \prime}}{X}=-\lambda \\ X^{\prime \prime}+\lambda X=0 \\ T^{ \prime}+\lambda a^{2} T=0\end{array}\right.$

$X_n(x)$ 同上， $T_{n}=C_{n} e^{-a^{2} \lambda_{n} t}$

则热传导方程的解为 $t)=\sum_{n=1}^{\infty} C_{n} e^{-\lambda_{n} a^{2} t} X_{n}$

其中 $C_{n}=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} \varphi(x) X_{n}(x) d x$ ， $\varphi(x)$ 为初始条件中的初"位移"。

矩形区域Laplace 方程

Laplace 方程/调和方程： $u_{xx}+u_{yy}=0\quad (0<x<a,0<y<b)$

求解步骤：

判断 $x 、 y$ 哪个方向上有齐次边界条件

若 $x$ 方向有齐次边界条件 $\left.u\right|_{x=0}=0=\left.u\right|_{x=l}$ ，则 $\left\{\begin{aligned} &X^{\prime \prime}+\lambda X=0 \\ &Y^{\prime \prime}-\lambda Y=0 \end{aligned}\right.$ ，所以有 $\left\{\begin{array}{l}\lambda_{n}=\frac{n^{2} \pi^{2}}{l^{2}} \\ X_{n}(x)=\sin \sqrt{\lambda_{n}} x\end{array}\right.$ ，将特征值代回 $Y^{\prime \prime}-\lambda Y=0$ ，故在 $y$ 方向有 $Y_n(y)=C_ne^{\sqrt{\lambda_n}y}+D_n e^{-\sqrt{\lambda_n}y}\quad n\in Z^+$ 。
写出通解 $u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}B_nX_n(x)Y_n(y)$
由边界条件 $\left.u\right|_{y=l}=f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}B_nX_n(x)Y_n(l)$ ，又可以求得 $B_n$ ，最后我们得到了 $u_{xx}+u_{yy}=0$ 的解。

极坐标下的Laplace 方程

在极坐标下的Laplace 方程

$\left\{\begin{array}{l}\Theta^{\prime\prime}(\theta)+\lambda\Theta(\theta)=0 \\ r^{2} R^{\prime \prime}(r)+rR^{\prime}(r)-\lambda R(r)=0 \\ \end{array}\right.$

自然边界条件下有 $\Theta(\theta+2 \pi)=\Theta(\theta)$ ， $\lambda_n=n^2$ ， $\left\{\begin{array}{l}\Theta_{0}(\theta)=a_{0} \\ \Theta_{n}(\theta)=a_{n} \cos n \theta+b_{n} \sin n \theta\end{array}\right.\quad n\in Z$ ，若有其他边界条件，例如 $u(r,0)=u(r,\alpha)=0$ ，则解为 $\varphi_n(r,\theta)=\sin{\frac{n\pi}{\alpha}}$ ，同波动方程中的 $X_n(x)$ 。

在圆内 $\left\{\begin{array}{l}R_{0}(r)=c_{0} \\ R_{n}(r)=c_{n} r^{n}\end{array}\right.$ ，【 $R_n(r)$ 原始解 $\left\{\begin{array}{l}R_{0}(r)=c_{0}+d_{0} \ln r \\ R_{n}(r)=c_{n} r^{\sqrt{\lambda_n}}+d_{n} r^{-\sqrt{\lambda_n}}\end{array}\right.$ ，自然边条下 $\sqrt{\lambda_n}=n$ ，为了保证物理上有意义，有时 $R_n(r)$ 需删去一部分】

则极坐标下Laplace 方程的解为 $\theta)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}c_n\Theta(\theta) R(r)\stackrel{\text {特殊条件}}{\longrightarrow}\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n} \cos n \theta+B_{n}\sin n \theta) r^{n}\right.$ ，特殊条件指只有自然边界条件 $\Theta(\theta+2 \pi)=\Theta(\theta)$ 并只考虑圆内的情况 $(0\leq r\leq l)$ 。
$\left\{\begin{array}{l} A_{n}=\frac{1}{\pi l^{n}} \int_{0}^{2 \pi} f(\varphi)\cos{ n \varphi} d \varphi \quad,n=0,1,2,\cdots\\ B_{n}=\frac{1}{\pi l^{n}} \int_{0}^{2 \pi} f(\varphi) \sin{ n \varphi} d \varphi\quad ,n=1,2,3,\cdots \end{array}\right.$

求解上下限也可以取 $[-\pi,\pi]$ ，求得常数 $A_n$ 、 $B_n$ 可能也带有角度，求常数时用 $\varphi$ 就是为了避免与 $u(r,\theta)$ 中的角度混淆。

将 $A_n$ 、 $B_n$ 公式带入 $u(r,\theta)$ 得到泊松积分 $\left.u(r,\theta\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(\varphi) \frac{l^{2}-r^{2}}{l^{2}-2 l r \cos (\varphi-\theta)+r^{2}} d \varphi$ ，当 $f(\varphi)$ 连续甚至分段连续时，此时泊松积分为圆的狄利克雷问题的解。【狄利克雷问题指只有边界条件而无需初始条件的问题】

在拉普拉斯变换中需注意 $R_n(r)$ 的适用范围应当满足物理规律。以温度场为例，圆内温度不可能无限高，则求解圆内问题应当舍去 $d_{n} r^{-n}$ 项，讨论圆外的问题一般则需舍去 $c_{n} r^{n}$ 项，讨论圆环问题则无需舍去。但也有特例，例如匀强电场中无限远处电势可以为无穷，不需舍去任何一项。