数学物理方程的分类

数学物理方程的分类

• 波动方程 $u_{tt}-a^2\Delta u=0$
• 热传导方程 $u_t-a^2\Delta u=0$
• 亥姆霍兹方程 $\left(\Delta +k^2\right)U=0$
• 拉普拉斯方程 $\Delta U=0$
• 哈密顿算子 $\nabla$
• 拉普拉斯算子 $\Delta$

波动方程 $u_{tt}-a^2\Delta u=0$

对于一个标量$u$的波动方程的一般形式是：
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=a^2{\nabla }^{2}u$$
一维波动方程：
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t)$$
式中$a$的物理意义为波动传播速度。

热传导方程 $u_t-a^2\Delta u=0$

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：
$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}\right)=k\left(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}\right)$$

亥姆霍兹方程 $\left(\Delta +k^2\right)U=0$

$\left(\Delta +k^2\right)U=0$，其中$\Delta$是拉普拉斯算子，k是波数，A是振幅。

亥姆霍兹方程有时也写为 $\Delta U+\lambda U=0$，若$\lambda =0$，则变为拉普拉斯方程$\Delta U=0$。

拉普拉斯方程 $\Delta U=0$

拉普拉斯方程（Laplace’s equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。

拉普拉斯方程为：

$$\Delta u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$$

解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。哈密顿算子与拉普拉斯算子在文末有详细说明。

数理方法常见方程：一维波动方程(弦振动方程)$u_{tt}=a^2{u}_{xx}$，一维热传导方程$u_t=a^2{u}_{xx}$，二维拉普拉斯方程$u_{xx}+u_{yy}=0$。

哈密顿算子 $\nabla$

向量微分算子$\nabla$，$Nabla$算子，倒三角算子，哈密顿算子，是一个微分算子。

直角坐标系中：
$$\nabla =\frac{\partial }{\partial x}{e}_x+\frac{\partial }{\partial y}{e}_y+\frac{\partial }{\partial z}{e}_z$$
球坐标系中：
$$\nabla =\frac{\partial }{\partial r}{e}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }{e}_{\theta }+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \phi }{e}_{\phi }$$
柱坐标系中：
$$\nabla =\frac{\partial }{\partial \rho }{e}_{\rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \varphi }{e}_{\varphi }+\frac{\partial }{\partial z}{e}_z$$

拉普拉斯算子 $\Delta$

Laplace算子 $\Delta$ 是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度的散度，$\Delta f={\nabla }^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$。

极坐标变换下二维Laplace算子的表达式为：
$${\nabla }^2=\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}$$
柱面坐标变换下Laplace算子的表达式为：
$${\nabla }^2=\frac{{\partial }^2}{\partial {\rho }^2}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$$
球坐标系下的Laplace算子的表达式为：
$${\nabla }^2=\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}\left(\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}+\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}$$