求解偏微分方程思路

求解偏微分方程思路

• 古典解、广义解
• 求解ODE思路
• 求解PDE思路
• 特殊函数求解核心思路

古典解、广义解

对于PDE(偏微分方程)来说，如果存在一个函数$u$具有所需要的各阶连续偏导数，将它们带入方程时能使方程成为恒等式，则称这个函数为该方程的解 (这种解又称为古典解)。

用一个充分光滑的初值函数序列来逼近不够光滑的初值函数，前者所对应的解序列的极限就定义为后者所确定的解，称为问题的广义解。

求解ODE思路

求解常微分方程的办法，先求出方程的通解，再用定解条件去确定任意常数。现在，如能找出主方程的通解，再利用定解条件去确定任意函数。

求解PDE思路

求出PDE满足边界条件的足够数目的特解，再利用叠加原理，使之满足初始条件，从而得到混合方程的解。

特殊函数求解核心思路

用分离变量法处理柱、球坐标下的拉普拉斯方程时遇到ODE求解问题 $\to$ 对于ODE使用级数解法 $\to$ 引入不同的特殊函数 $\to$ 对特殊函数的母函数及递推关系、正交归一化性质进行推导 $\to$ 使用特殊函数构建坐标函数系，并对ODE方程进行广义傅里叶展开得到ODE的解。

贝塞尔(Bessel)函数$J_m(x)$为柱坐标Laplace方程$R(r)$的求解函数；

勒让德(Legendre)函数$P_{l,m}(\cos \theta )$是对球坐标Laplace方程角度分量$\Theta (\theta )$的求解。