复数和复变函数

复数
复变函数

复数

复数 $z = (0, y) = i y$ 称为纯虚数，其中复数 $(0 ， i)$ 称为虚单位。

复共轭： $z^*=x-iy$ 与 $z = x + i y$ 互为复共轭（ $z*z^*=x^2+y^2$ ）。

复数的极坐标表示： $z=x+iy=r(\cos \theta +i\sin \theta)$ ，其中 $r、\theta$ 分别是复数的模和辐角，复数 $\neq 0$ 所对应的矢量 $O z$ 与实轴正向的夹角 $\theta$ 称为复数 $z$ 的一个辐角。任一复数 $\neq 0$ 有无穷多个辐角，记为 $\operatorname{Arg} z$ ，对某一辐角 $\theta$ ，有 $\ z=\theta+2 k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$ ，一般把其中属于 $(-\pi, \pi]$ 的辐角称为 $\operatorname{Arg} z$ 的主值，或称为 $z$ 的主辐角，记为 $\arg z$ 。

复数的乘法、除法运算：
$\frac{x_{1}+\mathrm{i} y_{1}}{x_{2}+\mathrm{i} y_{2}}=\frac{\left(x_{1}+\mathrm{i} y_{1}\right)\left(x_{2}-\mathrm{i} y_{2}\right)}{\left(x_{2}+\mathrm{i} y_{2}\right)\left(x_{2}-\mathrm{i} y_{2}\right)}=\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+\mathrm{i} \frac{y_{1} x_{2}-x_{1} y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$
极坐标表示的复数的乘法、除法运算：
$z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} r_{2}\left[\left(\cos (\theta_{1} +\theta_{2})+i\sin (\theta_{1} +\theta_{2})\right]\right.$

$\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{z_{1} \cdot z_{2}^{*}}{z_{2} \cdot z_{2}^{*}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left[\cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+i \sin \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right], \quad z_{2} \neq 0$

欧拉公式：
$\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta$
因此复数又可表示为：

$z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}$
指数表示的复数乘法、除法运算：
$\begin{aligned} z_{1} \cdot z_{2} &=r_{1} r_{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)} \\ \\\frac{z_{1}}{z_{2}} &=\frac{r_{1}}{r_{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)} \end{aligned}$

复变函数

一个序列的极限必然是此序列的聚点，而且是唯一的聚点。

单连通区域：在区域内作任何闭合围道，围道内的点都属于该区域。

设区域 $\subseteq \mathbb{C}$ ，如果对于 $D$ 内的每一个复数 $z$ ，都有唯一一个复数 $w$ 与之对应， $w$ 和 $z$ 之间的这种对应关系记为 $f$ ，则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的复变函数，其中 $z$ 是函数 $f$ 的自变量， $w$ 称为函数 $f$ 在 $z$ 点的函数值，记为：

$\quad z \in G$
因为 $z=x+\mathrm{i} y, w=u+\mathrm{i} v$ ，所以
$y)+\mathrm{i} v(x, y)$
因此复变函数 $f (z)$ 只不过是两个二元实函数 $(f$ 的实部 $u (x, y)$ 和虚部 $v (x, y))$ 的有序组合。

无穷数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 也有一个特殊聚点–无穷远点 $\infty$ ，无穷远点不在复平面 $\mathbb{C}$ 内，包含无穷远点的复平面称为扩充的复平面，记作 $\overline{\mathbb{C}}$ 。

为了更直观地表现无穷远点，可以引进复数球面(或称为 $E i e m a n n$ 球面)

复变函数的性质

设 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ 在一点 $z=x+\mathrm{i} y$ 可微，则
$f^{\prime}(z)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0 } \frac{\Delta f}{\Delta z}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0 \atop \Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta u+i \Delta v}{\Delta x+i \Delta y} \quad \begin{aligned} &\Delta u=u(x+\Delta x, y+\Delta y)-u(x, y) \\ &\Delta v=v(x+\Delta x, y+\Delta y)-v(x, y) \end{aligned}$
其中 $\Delta z$ 按任意方式趋于 $0$ 如果选择两个特殊的方向趋于 $0$ ，则两极限结果必定也相同 (必要条件)。比如: 现让 $\Delta z$ 沿平行于实轴的方向趋于 $0$ ，则
$f^{\prime}(z)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0 \atop \Delta y=0} \frac{\Delta u+i \Delta v}{\Delta x+i \Delta y}=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}$
又让 $\Delta z$ 沿平行于 $y$ 轴的方向趋于 $0$ ，则
$f^{\prime}(z)=\lim _{\Delta x=0 \atop \Delta y=0} \frac{\Delta u+i \Delta v}{\Delta x+i \Delta y}=-i \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$
两个极限相等，得到如下等式
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \quad \text { (C-R条件) }$

柯西-黎曼条件( $C a u c h y - R i e m a n n$ 条件)是函数可导的必要条件

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$
复函数 $f (z) = u + i v$ 在区域 $D$ 内可导（解析） $\Leftrightarrow$

(1) $u (x, y), v (x, y)$ 在 $D$ 内可微。

(2) $u 、 v$ 满足 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},-\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x} \quad$ (满足 $C - R$ 方程）