解析函数/全纯函数

解析函数

• 解析函数
• 初等解析函数
• 多值函数

解析函数

1. 在区域 $D$ 内每一点都可导的函数， 称为 $D$ 内的解析函数，或者说函数在 $D$ 内解析【满足可微与C-R方程即可】。函数$f(z)$的不解析点称为奇点。【解析函数也叫全纯函数】

   C-R方程反映了解析函数的实部与虚部之间的联系，我们可以得到$u_x=v_y,u_y=-v_x$。例如实部 $u(x,y)$，就可以唯一地确定其虚部。

   解析函数可以解释为任何一种无旋、无散度 [无源无旋] 的平面稳定场的复势。例如平面静电场
   复势: $f(z)=u+ivu$ 为力函数，$v$ 为势函数

2. 不是任意一个二元函数都可以用来作为解析函数的实部或虚部，解析函数的实部 $u(x,y)$ 和虚部 $v(x,y)$ 的二阶偏导数一定存在并且连续，因此，根据 Cauchy-Riemann 方程，有
   $$\begin{array}{ll}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial y},& \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=-\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial y}\\ \frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{\partial u}{\partial y}\right)=-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y},& \frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}\end{array}$$
   由C-R方程可推出，$u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 都必须满足二维 Laplace 方程

   $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0,\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=0$$
   则解析函数的实部和虚部必须是调和级数，$\Delta u=0,\Delta v=0$。我们把在区域内满足C-R条件的两个调和函数 $u,v$ 称为共轭调和函数。【共轭性 即 满足C-R方程】

初等解析函数

幂函数$z^n$

当 $n=0,1,2,\cdots$ 时，$z^n$ 在 $\mathbb{C}$ 内解析； 并且当 $n=1,2,\cdots$ 时， $z^n$ 在 $z=\infty$ 不解析。 当 $n=-1,-2,\cdots$ 时， $z^n$ 在除$z=0$外的复平面处处解析。

在 $z^n$ 的解析区域内：
$${\left(z^n\right)}^{\prime }=n{z}^{n-1}$$

指数函数 ${\mathrm{e}}^z$
$$\begin{gathered} {\mathrm{e}}^z={\mathrm{e}}^{x+\mathrm{i}y}={\mathrm{e}}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y) \\ {\mathrm{e}}^{z_1}\cdot {\mathrm{e}}^{z_2}={\mathrm{e}}^{x_1+\mathrm{i}{y}_1}\cdot {\mathrm{e}}^{x_2+\mathrm{i}{y}_2}={\mathrm{e}}^{x_1+x_2}\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(y_1+y_2\right)}={\mathrm{e}}^{\left(x_1+x_2\right)+\mathrm{i}\left(y_1+y_2\right)}={\mathrm{e}}^{z_1+z_2} \end{gathered}$$
${\mathrm{e}}^z$ 在 $\mathbb{C}$ 内解析，
$${\left({\mathrm{e}}^z\right)}^{\prime }={\mathrm{e}}^z$$
但${\mathrm{e}}^z$在无穷远点无定义，当然也不解析。例如，当 $z$ 沿正实轴或负实轴趋于$\infty$ 时， ${\mathrm{e}}^z$ 逼近不同的数值。
复指数函数特有而实指数函数不具备的一个性质是周期性， 周期为 $2\pi \mathrm{i}$ ：
$$\begin{array}{r}{\mathrm{e}}^{z+2\pi \mathrm{i}}={\mathrm{e}}^z\end{array}$$
三角函数 $\sin z,\cos z，\dots$

复三角函数 $\sin z,\cos z$ 可以用复指数函数定义：

$(\sin z{)}^{\prime }=\cos z,(\cos z{)}^{\prime }=-\sin z$
$z=\infty$ 是它们的唯一奇点。
与实三角函数相同的是， $\sin z$ 和 $\cos z$ 也都是周期函数， 周期为 $2\pi$。
与三角函数的不同在于， $\sin z$ 和 $\cos z$ 的模可以大于 $1$ 例如，
$\mathrm{i}\sin \mathrm{i}=\frac{{\mathrm{e}}^{-1}-{\mathrm{e}}^1}{2}=-1.1752012\cdots ,\cos \mathrm{i}=\frac{{\mathrm{e}}^{-1}+{\mathrm{e}}^1}{2}=1.5430806\cdots$

$\sin z=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}},\cos z=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2}$

双曲函数 $\sinh z,\cosh z,\dots$

双曲函数 $\sinh z,\cosh z$ 也是通过复指数函数定义的。
$$\begin{array}{lll}\sinh z=\frac{{\mathrm{e}}^z-{\mathrm{e}}^{-z}}{2},& \cosh z=\frac{{\mathrm{e}}^z+{\mathrm{e}}^{-z}}{2},& \tanh z=\frac{\sinh z}{\cosh z}\\ \coth z=\frac{\cosh z}{\sinh z},& \mathrm{sech}z=\frac{1}{\cosh z},& \mathrm{csch}z=\frac{1}{\sinh z}\end{array}$$
由定义可以直接证明，双曲函数和三角函数可以互化，
$$\sinh z=-\mathrm{i}\sin \mathrm{i}z,\cosh z=\mathrm{cosi}z,\tanh z=-\mathrm{i}\tan \mathrm{i}z$$
因此，双曲函数的性质完全可以由三角函数推出。相较与三角函数其需要注意的性质：一是周期性，双曲函数 $\sinh z,\cosh z,\mathrm{sech}z$ 和 $\mathrm{csch}z$ 的周期是 $2\pi \mathrm{i},\tanh z$ 和 $\coth z$ 的周期是 $\pi \mathrm{i}$； 二是导数公式

$$(\sinh z{)}^{\prime }=\cosh z,(\cosh z{)}^{\prime }=\sinh z,(\tanh z{)}^{\prime }={\mathrm{sech}}^{2}z$$

多值函数

设区域$D\subseteq \mathbb{C}$，如果对于复数$z\subseteq D$ ，有多个数$w$与之对应，$w$ 和 $z$ 之间的这种对应关系记为$f$，则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的多值函数。例如初等函数的逆运算，即开方、求对数等，它们都是多值函数。

对于函数$w=f(z)$来说，$z=0$ 点具有这样的特性：当$z$绕它转一整圈回到原处时，多值函数$w=\sqrt[n]{z}$由一个分支变到另一个分支【$w$的$\theta$发生变化】，具有这种性质的点称为多值函数$w=f(z)$的支点。

判断无穷远点是否是支点：将有限区域内所有支点包围在内即可等价于包围了无穷远点，此时对$w$值进行判断即可判断$\infty$是否是支点。

支割线将定义域切割为含有一条无限长的割线的区域，将定义域用包含支点的射线、线段切割开，使定义域内的任何一条曲线都不包括支点。这样即可定义一个单值的解析函数。

支割线意义：消除多值函数多值性，只要函数不通过支割线，就不会从一个单值分支变到另一个单值分支上。例如$w^2=z$的两支$\begin{array}{l}w(z)=\sqrt{z}=\{\begin{array}{l}\sqrt{r}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta /2}\\ -\sqrt{r}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta /2}\end{array}\end{array}$，只要事先确定函数在哪支并保证$\theta$变化不通过支割线，即可将其固定在某一支$w_k(z)$上。

$a、b$是$w(z)=\sqrt{(z-a)(z-b)}$的支点，当绕包含$a、b$的曲线一周后相对于$(z-a)、(z-b)$的角度变化${\theta }_1、{\theta }_2$均为$2\pi$，(z-a)(z-b)变化为$4\pi$，开方后角度变为$2\pi$，$w(z)$无变化，说明$\infty$不是函数的支点

根式函数 $w=\sqrt[n]{z}$

由$w=\sqrt[n]{z}$可得$w^n=z$，令$w=\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi },z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$，代人前式，得 ${\rho }^n{\mathrm{e}}^{n\phi \mathrm{i}}=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$，于是 ${\rho }^n=r,{\mathrm{e}}^{n\phi \mathrm{i}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$，所以有
$$\rho =\sqrt[n]{r},n\phi =\theta +2k\pi ,k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots .$$
可以看出$w$的模与$z$的模是一一对应的； 而辐角则不然，对应每个 $\theta$ 值，有 $n$ 个不同的$\phi$值(相差 $2\pi$ 的整数倍算作相同值)。
$${\phi }_0=\frac{\theta }{n},{\phi }_1=\frac{\theta +2\pi }{n},\cdots ,{\phi }_{n-1}=\frac{\theta +2(n-1)\pi }{n},$$
从而得到$n$个不同的$\omega$值，即根式函数$w=\sqrt[n]{z}$的通解
$$w_k=\sqrt[n]{r}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\theta +2k\pi }{n}},k=0,1,\cdots ,n-1$$
对数函数 $\mathrm{Ln}z$

若 $z=e^w$，则 $w=\mathrm{Ln}z$ 。

设 $z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta },w=u+\mathrm{i}v$，即得$z={\mathrm{e}}^u\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}v}=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }(\theta =argz)$。

$w(z)=\ln r{e}^{i(\theta +2k\pi )}=\ln r+i(\theta +2k\pi )$
$$则w(z)=Lnz=\ln |z|+i(\theta +2k\pi )\to \{\begin{array}{l}Rew=\ln |z|\\ \Im w=\theta +2k\pi ,k\in Z\end{array}$$
对数函数 $w=\mathrm{Ln}z$ 也是多值函数，有无穷多个分支。

若我们限定 $\mathrm{Im}(\mathrm{Ln}z)$ 即 $\mathrm{Arg}z$ 取主值 $\arg z(-\pi <\arg z⩽\pi )$，此时$z$的对数就只有一个，称它为$\mathrm{Ln}z$的主值支，记为 $\ln z$。

因此$\ln z=\ln |z|+\mathrm{i}\arg z$，$\mathrm{Ln}z=\ln z+\mathrm{i}2k\pi ,k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots .$

在复数域中$z^b=e^{bLnz}=e^{b[\ln |z|+i(argz+2k\pi )]},k\in Z$

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