复变积分/复积分

复变积分

• 复变积分
• $Cauchy$ 定理
• $Cauchy$ 积分公式
• $Cauchy$ 积分公式的若干推论

复变积分

复变积分是复平面 $\mathbb{C}$ 上的线积分。设 $C$ 是 $\mathbb{C}$ 内的一条由 $A$ 点到 $B$ 点的曲线，函数$f(z)$在$C$上有定义。把曲线$C$任意分割为 $n$ 段， ${\zeta }_k$ 是 $z_{k-1}\to z_k$ 段上的任意一点，作和数
$$\sum _{k=1}^{n}f\left({\zeta }_k\right)\left(z_k-z_{k-1}\right)=\sum _{k=1}^{n}f\left({\zeta }_k\right)\Delta z_k$$
其中 $\Delta z_k=z_k-z_{k-1}$. 若当 $n\to \infty ,\max \left|\Delta z_k\right|\to 0$ 时，此和数的极限存在，且极限值与 ${\zeta }_k$ 的选取无关，则称此极限值为函数 $f(z)$ 沿曲线 $C$ 的积分，记为
$${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z=\underset{\max |\Delta z_k|\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f\left({\zeta }_k\right)\Delta z_k$$
利用微积分中曲线积分的知识对复变函数进行积分得
$${\int }_{C}f(z)dz={\int }_C(udx-vdy)+i{\int }_C(vdx+udy)$$

$Cauchy$ 定理

Cauchy 定理：如果函数$f(z)$在有界闭区域$\bar{D}$中解析，则沿$\bar{D}$的边界$C$有：
$${\oint }_{C}f(z)dz=0$$
当被积复变函数在区域内有奇点(不解析的点)时，需要把奇点排除在外，设$D$是由复围线 $C=C_0+C_1^{-}+C_2^{-}+\cdots +C_n^{-}$所围成的复连通区域，函数 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，则Cauchy积分还可写为

$${\oint }_{C_0}f(z)dz=\sum _{i=1}^n{\oint }_{C_i}f(z)dz$$
注意此时内外围线积分是同向积分，可由${\oint }_{C}f(z)dz={\oint }_{C_0}f(z)dz-{\sum }_{i=1}^n{\oint }_{C_i}f(z)dz=0$推出上式。

Cauchy 定理的推论：

若$f(z)$在有界单连通区域 $D$ 中解析，则复变积分 ${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z$ 与路径 $C$ 无关 ($C\subset D$)。

既然在有界单连通区域中解析函数的积分值与路径无关，因此，如果固定起点$z_0$，而令终点$z$为变点，则作为积分上限的函数
$${\int }_{z_0}^{z}f(\zeta )\mathrm{d}\zeta =F(z),z\in D$$
是有界单连通区域 $D$ 内的单值函数，称为$f(z)$的不定积分。

如果函数 $f(z)$ 在有界单连通区域 $D$ 内解析，则 $f(z)$ 的不定积分
$$F(z)={\int }_{z_0}^{z}f(\zeta )\mathrm{d}\zeta ,z\in D$$
也在 $D$ 内解析，并且
$$F^{\prime }(z)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\int }_{z_0}^{z}f(\zeta )\mathrm{d}\zeta =f(z),z\in D.$$

$Cauchy$ 积分公式

设区域 $D$ 的边界是围线 (或复围线) $C$，$f(z)$ 在 $D$ 内解析，在 $\bar{D}=D+C$ 上连续，则
$$f(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\oint \frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta (a\in D)$$

或者也可将其写为
$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z,z_0\in D$$
则在$z=a$处有${\oint }_c\frac{f(z)}{z-a}\mathrm{d}z=2\pi if(a)(a\in D)$

可以根据Cauchy 积分公式得到解析函数在特殊点的积分值。

作为 Cauchy 积分公式的特殊形式，取 $C$ 为以 $z_0$ 为圆心、$R$ 为半径的圆周，如果 $f(z)$ 在圆内解析，即可得到
$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f\left(z_0+R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right)\mathrm{d}\theta$$
这个结果称为均值定理：解析函数 $f(z)$ 在解析区域 $D$ 内任意一点 $a$ 的函数值 $f(z_0)$，等于(完全位于$D$内的) 以该点为圆心的任一圆周上函数值的平均。

由Cauchy 积分公式可得，在包围$a$的任意围道内有围道积分 ${\oint }_C\frac{dz}{(z-z_0{)}^n}=\{\begin{array}{ll}2\pi \mathrm{i}& (n=1)\\ 0& (n\ne 1且为整数)\end{array}$

简单推导此式：

当$n=0,-1,-2,\cdots$时，$\frac{1}{(z-a{)}^n}=(z-a{)}^{-n}$在围道$l$内是解析函数，则其围道积分${\oint }_{C}f(z)dz=0$；

为方便后续推导，设$z-a=ϵe^{i\theta },(0\le \theta <2\pi )$，

当$n=1$时，$dz=iϵe^{i\theta }d\theta$，${\oint }_c\frac{f(z)}{z-a}\mathrm{d}z={\int }_0^{2\pi }\frac{iϵe^{i\theta }d\theta }{ϵ}{e}^{i\theta }=i{\int }_0^{2\pi }d\theta =2\pi i$；

当$n\ne 1$，但$n\in N$，$\frac{dz}{(z-a{)}^n}=\frac{i}{{ϵ}^{n-1}}{e}^{i(1-n)}d\theta$，${\oint }_l\frac{dz}{(z-a{)}^n}=\frac{i}{{ϵ}^{n-1}}{\int }_0^{2\pi }{e}^{i(1-n)}d\theta ={\frac{i}{{ϵ}^{n-1}}\frac{1}{i(1-n)}{e}^{i(1-n)\theta }|}_0^{2\pi }=0$。【此处分母出现了$1-n$，因此之前需要将$n=1$单独讨论】

至此我们得到了公式${\oint }_C\frac{dz}{(z-z_0{)}^n}=\{\begin{array}{ll}2\pi \mathrm{i}& (n=1)\\ 0& (n\ne 1且为整数)\end{array}$ ，在留数定理中我们仍需用到此公式。

$Cauchy$ 积分公式的若干推论

解析函数的高阶导数公式

由Cauchy 积分公式$f(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\oint \frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta$ ，可以推导出：如果 $f(z)$ 在有界闭区域 $\bar{D}$ 中解析，则在 $\bar{D}$ 内的任意阶导数 $f^{(n)}(z)$ 均可通过积分号下求导而得到，
$$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_C\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^{n+1}}\mathrm{d}\zeta ,z\in D.$$

$f(z)$满足解析条件时，$f(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_C\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta$对$\zeta$的积分与对$z$的导数可以交换次序，则$f(z)$对$z$求导，等式右边对积分内方程同样对$z$求导，${\left(\frac{1}{\zeta -z}\right)}^{(n)}=\frac{n!}{(\zeta -z{)}^{n+1}}$，理解后有助于此公式。

上式也可以写为：
$${\oint }_C\frac{f(z)}{(z-a{)}^n}\mathrm{d}z=\frac{2\pi i}{(n-1)!}{f}^{(n-1)}(a)$$
柯西不等式

柯西不等式 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，$a$ 为$D$内一点，以 $a$ 为圆心，以 $r$ 为半径在 $D$ 内作圆周 $\Gamma :|\zeta -a|=r$，则有
$$\left|f^{(n)}(a)\right|⩽\frac{n!M(r)}{r^n},n=0,1,2,\cdots ,$$
其中 $M(r)$ 为 $f(z)$ 在 $\Gamma$ 上的最大值。

模的最大值原理/模数原理

若 $f(z)$ 在闭区域 $\bar{D}$ 解析，且不为常数，则 $|f(z)|$ 只能在边界上达到最大值。

平均值定理/均值定理

解析函数$f(z)$在圆心的值等于其在圆周上值的平均值。
$$f(z)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f\left(a+r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right)\mathrm{d}\theta$$
莫雷拉(Morera)定理

若函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内连续，且对 $D$ 内任意围线 $C$ 都有 ${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z=0$，则 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。

• 计算复积分的方法

  1. 利用积分定义式 ${\int }_{C}f(z)dz={\int }_C(udx-vdy)+i{\int }_C(vdx+udy)$
  2. Cauchy定理（单连通和复连通）
  3. ${\int }_C\frac{dz}{(z-a{)}^n}=\{\begin{array}{ll}2\pi \mathrm{i}& (n=1)\\ 0& (n\ne 1,且为整数)\end{array}$ ，常用于复连通问题
  4. Cauchy积分公式 $f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_C\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^{n+1}}\mathrm{d}\zeta ,(z\in D)$

  能在整个复平面上解析的函数称为整函数。

  逐段光滑的简单闭曲线简称为围线，当观察者绕围线环行时，如果围线内部在观察者的左手方，就规定这个环行方向为围线的正向，反之就叫负向。

下一章节：解析函数的幂级数理论–无穷级数收敛性

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