解析函数的幂级数理论【无穷级数收敛性】

级数收敛性
收敛性的判定

级数也是研究函数的一个重要工具，无穷级数，特别是幂级数，是解析函数的重要表达形式之一。许多初等函数和特殊函数都是用幂级数定义的。

级数收敛性

给定复数级数
$\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots$
如果它的部分和
$S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$
所构成的序列 $\left\{S_{n}\right\}$ 收敛，则称级数 $\sum u_{n}$ 收敛，而序列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的极限 $S=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$ ，称为级数 $\sum u_{n}$ 的和；否则，级数 $\sum u_{n}$ 是发散的。复数项级数 $\sum_{k=0}^{\infty} f_{k}$ 可以归结为两个实数项级数的和。
$\sum_{k=0}^{\infty} f_{k}=\sum_{k=0}^{\infty} u_{k}+i \sum_{k=0}^{\infty} v_{k} \stackrel{\text { 收敛于 }}{\longrightarrow} F=u+i v$
如果级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 收敛，则称级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛，收敛而非绝对收敛的级数称为条件收敛。

一致收敛：任意给定的 $\varepsilon>0$ ，存在与 $z$ 无关的 $K$ ，使得当 $k > K$ 时，对于每一点 $\in D$ 都有 $\left|F(z)-F_{k}(z)\right|<\varepsilon$ ，则称级数 $\sum_{k=0}^{\infty} f_{k}(z)$ 在 $D$ 内一致收敛。

收敛性的判定

比较判别法 - 绝对收敛

若 $\exists N \in \mathbb{N}$ ，对 $\forall n>N$ ，都有 $\left|u_{n}\right|<v_{n}$ ，而 $\sum_{n=0}^{\infty} v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 收敛，即 $\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛。若 $\left|u_{n}\right|>v_{n}>0$ ，而 $\sum_{n=0}^{\infty} v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 发散。

比值判别法 - 绝对收敛

若存在与 $n$ 无关的常数 $\rho$ ，则当 $\left|u_{n+1} / u_{n}\right|<\rho<1$ 时，级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛；当 $\left|u_{n+1} / u_{n}\right|>\rho>1$ 时，级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}$ 发散。

达朗贝尔(d’Alembert) 判别法 - 绝对收敛

若 $\lim_{n \rightarrow \infty}\left|u_{n+1} / u_{n}\right|<1$ ，则级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛；若 $\lim_{n \rightarrow \infty}\left|u_{n+1} / u_{n}\right|>1$ ，则 $\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}$ 发散。
若 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_{n+1} / u_{n}\right|=1$ ，则 $\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}$ 的绝对收敛性需要利用下面的 Gauss 判别法进一步检验。

收敛半径： $R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right|$

柯西-阿达马(Cauchy-Hadamard) 判别法 - 绝对收敛

对 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ ，若 $\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{\left|u_{n}\right|}=r$ ，则当 $r < 1$ ，级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛；当 $r > 1$ ，级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}$ 发散；当 $r = 1$ ，敛散性无法判定。

收敛半径为： $R=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{\left|u_{n}\right|}}$

达朗贝尔判别法与柯西判别法都遇到了问题，必须用更高级的判别法–高斯(Gauss)判别法

Gauss 判别法 - 绝对收敛

设级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}$ 邻项的比值可以写成
$\frac{u_{n}}{u_{n+1}}=1+\frac{\mu}{n}+O\left(n^{-\lambda}\right)$
其中 $\lambda>1$ ，若 $\ \mu>1$ ，则级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛；若 $\ \mu \leq1$ ，则 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 发散。

魏尔斯特拉斯 M-判别法/优级数准则 - 一致收敛

如果有正数列 $M_{n}(n=0,1,2, \cdots)$ ，对一切 $\in E$ 均有
$\left|f_{n}(z)\right| \leqslant M_{n}, \quad n=0,1,2, \cdots$
且正项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} M_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z)$ 在 $E$ 上绝对收敛且一致收敛。这样的正项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} M_{n}$ 称为复函数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z)$ 的强级数(或优级数)。

Cauchy 判据 - 一致收敛

级数的收敛性，完全等价于其部分和序列的收敛性。因此，根据序列收敛的充要条件，可以写出无穷级数收敛的 Cauchy 充要条件: $\forall \varepsilon>0, \exists$ 正整数 $n$ ，使对于任意正整数 $p$ ，有
$\left|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}\right|<\varepsilon \text {. }$
令 $p = 1$ ，则可以得到级数收敛的必要条件：
$\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0 .$

绝对收敛和一致收敛

绝对收敛：一般用来描述无穷级数或无穷积分的收敛情况。如果级数 $\Sigma U_{n}$ 各项的绝对值所构成的级数 $\Sigma\left|U_{n}\right|$ 收敛，则称级数 $\Sigma U_{n}$ 绝对收敛。

一致收敛：任意给定的 $\varepsilon>0$ ，存在与 $z$ 无关的 $K$ ，使得当 $k > K$ 时，对于每一点 $\in D$ 都有 $\left|F(z)-F_{k}(z)\right|<\varepsilon$ ，则称级数 $\sum_{k=0}^{\infty} f_{k}(z)$ 在 $D$ 内一致收敛。

一致收敛的判定方法：Cauchy判据(充要条件)、𝑀判别法(充分条件)