解析函数的奇点

解析函数的奇点

• 奇点
• 零点
• 奇点与零点的相似性

奇点

奇点$\{\begin{array}{l}孤立奇点\{\begin{array}{l}可去奇点\\ m阶奇点\\ 本性奇点\end{array}\\ 非孤立奇点\end{array}$

若函数 $f(z)$ 在 $z=a$ 不解析(不可微或无定义)，而在 $z=a$ 的某去心邻域 $0<|z-a|<\epsilon$ 内解析，则称 $z=a$ 是 $f(z)$ 的一个孤立奇点。
如果在 $z=a$ 的无论多么小的邻域内，总有除 $z=a$ 以外的奇点，则 $z=a$ 是 $f(z)$ 的非孤立奇点。

举例： $f(z)=\frac{1}{\sin \frac{1}{z}},z=0$ 为其非孤立奇点

孤立奇点的分类

设 $a$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点，则 $f(z)$ 在 $a$ 的某去心邻域内可以展成Laurent 级数
$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n$$
称非负幂部分 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n$ 为 $f(z)$ 在点 $a$ 的正则部分，而称负幂部分 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{c}_{-n}(z-a{)}^{-n}$ 为 $f(z)$ 在点 $a$ 的主要部分。

(i) 如果 $f(z)$ 在 $a$ 点的主要部分为零，即没有负幂项，则称 $a$ 为 $f(z)$ 的可去奇点；

​ 如果定义一个新的函数$F(z)=\{\begin{array}{ll}f(z),& z\ne b\\ {\lim }_{z\to b}f(z),& z=b\end{array}$ ，则新函数$F(z)$在$b$点也是解析的。

(ii) 如果 $f(z)$ 在 $a$ 点的主要部分为有限多项，设为 $\frac{c_{-m}}{(z-a{)}^m}$ $+\cdots +\frac{c_{-1}}{z-a}\left(c_{-m}\ne 0\right)$，则称 $a$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点；

​ 只要$|z-b|$足够小，$|f(z)|$可以大于任何正数，${\lim }_{z\to b}f(z)=\infty$

(iii) 如果 $f(z)$ 在 $a$ 点的主要部分有无限多项，则称 $a$ 为 $f(z)$ 的本性奇点。

$f(z)$ 的孤立奇点$a$ 为本性奇点的充要条件是 ${\lim }_{z\to a}f(z)$ 不存在，即 $z\to a$ 时, $f(z)$ 既不趋于 $\infty$，也不趋于一定的值。

奇点类型的判定法

求出函数趋于奇点时的极限 ${\lim }_{z\to a}f(z)$

可去奇点处极限 ${\lim }_{z\to a}f(z)$ 有限，举例：$f(z)=\frac{\sin z}{z}(z=0)$；

$m$阶奇点处极限 ${\lim }_{z\to a}f(z)$ 为$\infty$，举例：$f(z)=\frac{z^5}{(z-1{)}^2}(z=1)$；

本性奇点处极限不存在，举例：$f(z)=e^{\frac{1}{z}}(z=0)$。

零点

解析函数的零点

如果 $f(z)$ 在 $a$ 点的邻域内解析且不恒为 0，若 $f(a)=0$，则称 $z=a$ 为 $f(z)$ 的零点。设 $f(z)$ 在 $z=a$ 点的邻域内解析，则 $f(z)$ 可以在 $z=a$ 的邻域内展成 Taylor 级数，
$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n,|z-a|<\rho .$$
故若 $z=a$ 为零点，则必有
$$c_0=c_1=\cdots =c_{m-1}=0,c_m\ne 0.$$
此时，称 $z=a$ 点为 $f(z)$ 的 $m$ 阶零点，相应地，
$$f(a)=f^{\prime }(a)=\cdots =f^{(m-1)}(a)=0,f^{(m)}(a)\ne 0.$$

解析函数零点的一个重要性质是它的孤立性。

若 $z=a$ 是 $f(z)$ 的零点且 $f(z)$ 在 $z=a$ 的邻域内不恒等于零，则一定 $\exists \rho >0$，使得 $f(z)$ 在空心邻域 $0<|z-a|<\rho$ 内无零点。

其逆否命题：如果解析函数 $f(x)$ 的零点是非孤立的，则此函数在其解析区域内一定恒为 0 。

由解析函数零点的孤立性可得到一系列推论：

1. 唯一性定理：设函数 $f_1(z)$ 和 $f_2(z)$ 在区域 $D$ 内解析，在 $D$ 内有一个收敛于 $a(a\in D)$ 的序列 $\left\{z_n\right\}\left(z_n\ne a\right)$，在其上 $f_1(z)=f_2(z)$，则 $f_1(z)$ 和 $f_2(z)$ 在 $D$ 内恒等。

2. 设 $f_1(z)$ 和 $f_2(z)$ 都在区域 $D$ 内解析，且在 $D$ 内的一段弧或一个子区域内相等，则在 $D$ 内 $f_1(z)\equiv f_2(z)$。

3. 在实轴上成立的恒等式，在 $z$ 复平面上仍然成立，只要这个恒等式两端的函数在 $z$ 复平面上都是解析的。

奇点与零点的相似性

奇点与零点定义极度相似，了解这种相似性有助于快速掌握奇点的概念。

零点：$f(z)$在$z=a$处$f(a)=0$且在$z=a$邻域解析即可展开成 Taylor 级数，$f(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n$；

奇点：$f(z)$在$z=a$处不解析但在$z=a$邻域解析即可展开成 Laurent 级数，$f(z)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n$；

$m$阶零点：Taylor 展开式中$c_0=c_1=\cdots =c_{m-1}=0$，$c_m\ne 0$则$a$为$f(z)$的$m$阶零点；

$m$阶奇点：Laurent 展开式中$c_{-\infty }=\cdots =c_{-m-2}=c_{-m-1}=0$，$c_{-m}\ne 0$则$a$为$f(z)$的$m$阶奇点；

若Laurent 展开式中$c_0\ne 0$，$c_{-1}=c_{-2}=\cdots =c_{-\infty }=0$，则$a$为$f(z)$的可去奇点；若$c_{-\infty }\ne 0$则$a$为$f(z)$的本性奇点。

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