线性偏微分方程的通解

线性偏微分方程的通解

观前提示：此章内容笔者写的不是很好，可以结合教材相关内容观看，本文主要介绍了线性算符以及线性偏微分方程的解，对理解此类方程以及线性算符很有帮助，但跳过此篇继续观看也不会造成后续内容不理解。

之前我们介绍的如波动方程、扩散方程等二阶偏微分方程都是线性偏微分方程，也就是说，在方程中只出现对于末知函数的线性运算。引进线性算符 $\hat{L}$ 的记号，则线性偏微分方程都可以写成
$$\hat{L}[u]=f$$
的形式，其中 $u$ 是末知函数，$f$ 是已知函数，称为方程的非齐次项。若 $f\equiv 0$，则称方程是齐次的。我们所用到的方程常见算符见下表，
$$\begin{array}{lll}\text{ 方 程 类 型 }& \text{ 方 程 }& \text{ 线 性 算 符 }\hat{L}\\ \text{ 波动方程 }& \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2{\nabla }^{2}u=f& \hat{L}\equiv \frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-a^2{\nabla }^2\\ \text{ 热传导方程 }& \frac{\partial u}{\partial t}-\kappa {\nabla }^{2}u=f& \hat{L}\equiv \frac{\partial }{\partial t}-\kappa {\nabla }^2\\ \text{ Poisson 方程 }& {\nabla }^{2}u=f& \hat{L}\equiv {\nabla }^2\\ \text{ Helmholtz 方程 }& {\nabla }^{2}u+k^{2}u=f& \hat{L}\equiv {\nabla }^2+k^2\end{array}$$
根据线性算符的定义
$$\hat{L}\left[c_1{u}_1+c_2{u}_2\right]=c_1\hat{L}\left[u_1\right]+c_2\hat{L}\left[u_2\right](c_1,c_2为常数)$$
由线性代数的知识，我们可以得到以下推论：

1. 若 $u_1$ 和 $u_2$ 都是齐次方程 $\hat{L}[u]=0$ 的解，$\hat{L}\left[u_1\right]=0,\hat{L}\left[u_2\right]=0$ ，则它们的线性组合 $c_1{u}_1+c_2{u}_2$ 也是该齐次方程的解，

$$\hat{L}\left[c_1{u}_1+c_2{u}_2\right]=0.$$

2. 若 $u_1$ 和 $u_2$ 都是同一个非齐次方程 $\hat{L}[u]=f$ 的解，$\hat{L}\left[u_1\right]=f,\hat{L}\left[u_2\right]=f$，则它们的差 $u_1-u_2$ 一定是相应的齐次方程的特解，$\hat{L}\left[u_1-u_2\right]=0$。方程的解 = 非齐次方程的一个特解 $+$ 齐次方程的解。
3. 若 $u_1$ 和 $u_2$ 分别满足非齐次方程$\hat{L}\left[u_1\right]=f_1,\hat{L}\left[u_2\right]=f_2$，则它们的线性组合 $c_1{u}_1+c_2{u}_2$ 满足非齐次方程$\hat{L}\left[c_1{u}_1+c_2{u}_2\right]=c_1{f}_1+c_2{f}_2$。

在数学物理方程中，我们以两个自变量的线性偏微分方程为例，讨论方程的特解和通解。这类线性偏微分方程的普遍形式可以写为
$$A_0\frac{{\partial }^{n}u}{\partial x^n}+A_1\frac{{\partial }^{n}u}{\partial x^{n-1}\partial y}+\cdots +A_n\frac{{\partial }^{n}u}{\partial y^n}+B_0\frac{{\partial }^{n-1}u}{\partial x^{n-1}}+\cdots +M\frac{\partial u}{\partial x}+N\frac{\partial u}{\partial y}+Pu=f(x,y),$$
或者引进简写符号 ${\hat{D}}_x\equiv \partial /\partial x,{\hat{D}}_y\equiv \partial /\partial y$, 而将方程写成
$$\begin{array}{rl}\hat{L}\left({\hat{D}}_x,{\hat{D}}_y\right)u\equiv & (A_0{\hat{D}}_x^n+A_1{\hat{D}}_x^{n-1}{\hat{D}}_y+\cdots +A_n{\hat{D}}_y^n+B_0{\hat{D}}_x^{n-1}\\ & +\cdots +M{\hat{D}}_x+N{\hat{D}}_y+P)u=f(x,y)\end{array}$$
其中 $A_0,A_1,\cdots ,A_n,B_0,\cdots ,M,N,P$ 都是 $x,y$ 的已知函数，称为方程的系数。我们只讨论最简单的情形，即常系数的线性偏微分方程 (方程的系数均为常数)，以及能化为常系数线性偏微分方程的方程。

若讨论两个自变量的常系数线性齐次偏微分方程，则$f(x,y)=0$，

若$\hat{L}\left({\hat{D}}_x,{\hat{D}}_y\right)$ 是 ${\hat{D}}_x,{\hat{D}}_y$ 的齐次式，则$P=0$，方程为
$$\left(A_0{\hat{D}}_x^n+A_1{\hat{D}}_x^{n-1}{\hat{D}}_y+A_2{\hat{D}}_x^{n-2}{\hat{D}}_y^2+\cdots +A_n{\hat{D}}_y^n\right)u=0.$$
这时，线性算符 $\hat{L}\left({\hat{D}}_x,{\hat{D}}_y\right)$ 可以分解成为 $n$ 个线性算符的乘积
$$\hat{L}\left({\hat{D}}_x,{\hat{D}}_y\right)=A_0\left({\hat{D}}_x-{\alpha }_1{\hat{D}}_y\right)\left({\hat{D}}_x-{\alpha }_2{\hat{D}}_y\right)\cdots \left({\hat{D}}_x-{\alpha }_n{\hat{D}}_y\right),$$
其中 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 也都是常数。
取试探解为 $u=\varphi (y+\alpha x)$，则
$${\hat{D}}_x^{k}u={\alpha }^k{\varphi }^{(k)}(y+\alpha x),{\hat{D}}_y^{k}u={\varphi }^{(k)}(y+\alpha x),{\hat{D}}_x^r{\hat{D}}_y^{s}u={\alpha }^r{\varphi }^{(r+s)}(y+\alpha x),$$

${\hat{D}}_x^{k}u$表示对$u$的$n$阶偏导

代入方程即得
$$\left(A_0{\alpha }^n+A_1{\alpha }^{n-1}+\cdots +A_n\right){\varphi }^{(n)}(y+\alpha x)=0.$$
设代数方程 (称为附加方程，auxiliary equation)
$$A_0{\alpha }^n+A_1{\alpha }^{n-1}+\cdots +A_n=0$$
的解是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$, 且互不相等，则齐次方程的通解为
$$u={\varphi }_1\left(y+{\alpha }_{1}x\right)+{\varphi }_2\left(y+{\alpha }_{2}x\right)+\cdots +{\varphi }_n\left(y+{\alpha }_{n}x\right)$$
其中 ${\varphi }_i,i=1,2,\cdots ,n$ 是 (互相独立的) 任意 ( $n$ 次可微) 函数。

举例： 求方程 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$ 的通解，$a$ 为常数。
解：因附加方程 ${\alpha }^2-a^2=0$ 的解 $\alpha =\pm a$，故方程的通解为
$$u={\varphi }_1(y+ax)+{\varphi }_2(y-ax).$$

为了更好的掌握相关知识点，建议亲自动手计算此例题

若 $\alpha$ 是重根，例如是二重根，${\left({\hat{D}}_x-\alpha {\hat{D}}_y\right)}^{2}u=0$，则通解为
$$u=x{\varphi }_1(y+\alpha x)+{\varphi }_2(y+\alpha x).$$
若 $\alpha$ 为 $n$ 重根，即 ${\left({\hat{D}}_x-\alpha {\hat{D}}_y\right)}^{n}u=0$，则方程的通解为
$$u=x^{n-1}{\varphi }_1(y+\alpha x)+x^{n-2}{\varphi }_2(y+\alpha x)+\cdots +x{\varphi }_{n-1}(y+\alpha x)+{\varphi }_n(y+\alpha x).$$
举例：方程 $\left({\hat{D}}_x^2-2{\hat{D}}_x{\hat{D}}_y+{\hat{D}}_y^2\right)u=0$ 的通解为
$$u=x\varphi (x+y)+\psi (x+y).$$
若$\hat{L}\left({\hat{D}}_x,{\hat{D}}_y\right)$ 不是 ${\hat{D}}_x,{\hat{D}}_y$ 的齐次式，则首先考虑一阶偏微分方程
$$\left({\hat{D}}_x-\alpha {\hat{D}}_y-\beta \right)u=0$$
前面已经求出此方程在 $\beta =0$ 时的通解 $u=\varphi (y+\alpha x)$。当 $\beta \ne 0$ 时可设解为
$$u(x,y)=f(x)\varphi (y+\alpha x).$$
代入方程，有
$$\left({\hat{D}}_x-\alpha {\hat{D}}_y-\beta \right)[f(x)\varphi (y+\alpha x)]=f(x)\left({\hat{D}}_x-\alpha {\hat{D}}_y\right)\varphi (y+\alpha x)+\varphi (y+\alpha x)\left({\hat{D}}_x-\beta \right)f(x)=0.$$
因为 $\left({\hat{D}}_x-\alpha {\hat{D}}_y\right)\varphi (y+\alpha x)=0$，就得到 $f(x)$ 满足的常微分方程
$$f^{\prime }(x)-\beta f(x)=0.$$
解之得 $f(x)={\mathrm{e}}^{\beta x}$。因此，非齐次方程的通解就是
$$u(x,y)={\mathrm{e}}^{\beta x}\varphi (y+\alpha x).$$
举例： 求方程 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}-2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+2\frac{\partial u}{\partial x}+2\frac{\partial u}{\partial y}=0$ 的通解.
解： 容易看出,
$$\left({\hat{D}}_x^2-{\hat{D}}_x{\hat{D}}_y-2{\hat{D}}_y^2+2{\hat{D}}_x+2{\hat{D}}_y\right)u=\left({\hat{D}}_x+{\hat{D}}_y\right)\left({\hat{D}}_x-2{\hat{D}}_y+2\right)u=0$$
故方程的通解为
$$u=\varphi (x-y)+{\mathrm{e}}^{-2x}\psi (y+2x).$$
注意: 若有重复性因子, 例如 ${\left({\hat{D}}_x-\alpha {\hat{D}}_y-\beta \right)}^{2}z=0$, 则通解为
$$z=x{\mathrm{e}}^{\beta x}\varphi (y+\alpha x)+{\mathrm{e}}^{\beta x}\psi (y+\alpha x)\text{. }$$

下一章节：波动方程的行波解

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